\setlength{\imagewidth}{6cm}

% ============================================================================================
\section{Lineare OPV-Schaltungen, Gegengekoppelte Strukturen}
% ============================================================================================

\begin{sectionbox}

	% OPV Modelle
	% ----------------------------------------------------------------------
	\subsection{Allgemines Modell}
  \begin{center}
    \includegraphics[width = 0.5\columnwidth]{img_02_00_modell_opv}
  \end{center}

	% OPV Formeln
	% ----------------------------------------------------------------------
	\subsection{Operationsverstärker}

		% Differenzverstärkung %
	  $A_{VD}(=V_{UD})=\frac{U_{OUT}}{U_{ID}}(typ.>100k)>>1$

		% GLeichtaktverstärkung %
	  $A_{VC}=\frac{U_{OUT}}{U_{CM}} \approx 0$

		% Common Mode Rejection Ratio %
	  $CMMR=\frac{A_{VD}}{A_{VC}}>>1$ \quad\
	  $CMMR/dB=20\cdot log(\frac{A_{VD}}{A_{VC}})$

	  % Frequenzgang %
	  $\underline{V}_{ud}(f)=\frac{V_{UD}}{\cancel{1}+\frac{j\cdot f}{f_1}}$
		\begin{emphbox}
	  	$f_1(=f_{1,3dB})=\frac{f_T(=GBW)}{V_{ud}}$
		\end{emphbox}

	% Standard-Rückkopplungsstruktur
	% ----------------------------------------------------------------------
  \subsection{Standardstruktur}

	\pbox{5cm}{\includegraphics[width = 5cm - 1cm]{img_02_01_Standardstruktur}}
	\parbox{\textwidth - 5cm + 1cm}{
		% Rückkopplungsfaktor %
		\begin{bluebox}
		$\underline{k} = \frac{\underline{u}_k}{\underline{u}_2}\vert_{u_1 = 0} = \frac{-\underline{u}_{id}}{\underline{u}_2}\vert_{u_1 = 0}$
		\end{bluebox}

		% Schleifenverstärkung %
		Schleifenverstärkung: $\underline{g} = \underline{V}_{ud} \cdot \underline{k}$

		% Ausgangsspannung %
		$\underline{u}_2 = \underline{a}_V^+ \cdot \underline{u}_1^+ + \underline{a}_V^- \cdot \underline{u}_1^-$

		% Spannungsverstärkung %
		\begin{emphbox}
			$\underline{a}_V^+ = \frac{\underline{V}_{ud}}{1+\underline{k}\cdot\underline{V}_{ud}}$ \newline
			$\underline{a}_V^- = -\frac{\underline{V}_{ud}\cdot(1-\underline{k})}{1+\underline{k}\cdot\underline{V}_{ud}}$\newline
		\end{emphbox}
	}

	\subsubsection{Betriebsmodi}

			% Nichtinvertierender Betrieb %
	  	\underline{Nichtinvertierender Betrieb:}
			\begin{bluebox}
				\begin{center}
					$\underline{u}_1^- = 0!$ \quad\
					$\underline{u}_1 = \underline{u}_1^+$ \quad\
					$\underline{g} = \underline{k} \cdot \underline{V}_{ud}$
				\end{center}
			\end{bluebox}

			Normalbetrieb: $|\underline{k} \cdot \underline{V}_{ud}| >> 1$
			\begin{emphbox}
				$\underline{a}_V = +\frac{1}{\underline{k}} = 1 + \frac{\underline{Z}_2}{\underline{Z}_1}$
			\end{emphbox}

			OPV-Vorwärtsbertrieb:  $|\underline{k} \cdot \underline{V}_{ud}| << 1$
			\begin{emphbox}
				$\underline{a}_V = \underline{V}_{ud}$
			\end{emphbox}

			% Invertierender Betrieb %
			\underline{Invertierender Betrieb:}
			\begin{bluebox}
				\begin{center}
					$\underline{u}_1^+ = 0!$ \quad\
					$\underline{u}_1 = \underline{u}_1^-$ \quad\
					$\underline{g} = \underline{k} \cdot \underline{V}_{ud}$
				\end{center}
			\end{bluebox}

			Normalbetrieb: $|\underline{k} \cdot \underline{V}_{ud}| >> 1$
			\begin{emphbox}
				$\underline{a}_V = -\frac{1-\underline{k}}{\underline{k}} = 1 - \frac{1}{\underline{k}}
				= -\frac{\underline{Z}_2}{\underline{Z}_1}$
			\end{emphbox}

			OPV-Vorwärtsbertrieb:  $|\underline{k} \cdot \underline{V}_{ud}| << 1$
			\begin{emphbox}
				$\underline{a}_V = -\underline{V}_{ud} \cdot (1 - \underline{k})$
			\end{emphbox}

	  \subsubsection{Betriebsfrequenzgrenze der Schaltung}
			Betriebsfrequenzgrenze $f_g$ (= Durchtrittsfreq. $f_D$)
			\begin{bluebox}
				\begin{center}
					$|\underline{g}(f_g (= f_D))| = |\underline{k}(f_g) \cdot \underline{V}_{ud}(f_g)| = 1$
				\end{center}
			\end{bluebox}

			\begin{emphbox}
	  		$f_g \approx \frac{GBW}{1/|\underline{k}(f_g)|}$
			\end{emphbox}

\end{sectionbox}
\begin{sectionbox}

	% Standard-Rückkopplungsstruktur
	% ----------------------------------------------------------------------
	\subsection{Stabilität von gegengekoppelten OPV-Schaltungen}
		$\varphi_R = \varphi(\underline{g}(f_D)) - (-180\degree)$
		\begin{bluebox}
			\item Bei negativer Schleifenverstärkung (= Mitkopplung): $\underline{g} < 1$
			\item Robust stabile Schaltung: $\varphi_R > 45 \degree$
		\end{bluebox}

	% Testschaltung zur Ermittlung der Schleifenverstärkung
	% ----------------------------------------------------------------------
	\subsection{Testschaltung zur Ermittlung der Schleifenverstärkung}
		\pbox{\imagewidth}{\includegraphics[width = \imagewidth - 1cm]{img_02_12_testschaltung_schleifenverstaerkung}}
		\parbox{\textwidth - \imagewidth}{
			$\underline{g} = - \frac{\underline{v}(g\_out)}{\underline{v}(g\_in)}$
		}

	% Kompensation der Ausgangs-Offset-Spannung
	% ----------------------------------------------------------------------
	\subsection{Kompensation der Ausgangs-Offset-Spannung}
		\pbox{5cm}{\includegraphics[width = 4cm]{img_02_13_ruhestromkompensation}}
		\pbox{6cm}{\includegraphics[width = 5cm]{img_02_14_uio_kompensation}}
		\newline
		\parbox{4cm}{\begin{emphbox} $R^+ = R^-$ \end{emphbox}} \quad\quad\quad
		\parbox{4cm}{\begin{emphbox} $U_{ID} = U_{IO}$ \end{emphbox}}


		% Gegenkopplung und Mitkopplung
		% ----------------------------------------------------------------------
		\subsection{Kompensation der Ausgangs-Offset-Spannung}
		\pbox{\imagewidth}{\includegraphics[width = \imagewidth - 1cm]{img_02_13_mitkopplung}}
		\parbox{\textwidth - \imagewidth}{
			% Rückkopplungsfaktor %
			\begin{bluebox}
			$\underline{k}
				= \frac{-\underline{u}_{id}\vert_{u_1 = 0}}{\underline{u}_2} \newline
				= \frac{\underline{u}(-)-\underline{u}(+)}{\underline{u}_2}\vert_{u_1 = 0} \newline
				= \underline{k}^{(-)} - \underline{k}^{(+)}$
			\end{bluebox}

			\begin{emphbox}
			$\underline{k} = \frac{\underline{Z}_1}{\underline{Z}_1 + \underline{Z}_2} - \frac{\underline{Z}_3}{\underline{Z}_3 + \underline{Z}_4}$
			\end{emphbox}
		}

\end{sectionbox}
\newpage
\begin{sectionbox}

	% Standard lineare OPV-Schaltungen
	% ----------------------------------------------------------------------
  \subsection{Standard Linearverstärker mit OPV}
		\subsubsection{Invertierender Standard Verstärker}
			\pbox{\imagewidth}{\includegraphics[width = \imagewidth - 1cm]{img_02_02_invertierender_verstaerker}}
			\parbox{\textwidth - \imagewidth}{
				$\underline{a}_V = - \frac{R_2}{R_1}$ \newline
				$\underline{z}_{in} = R_1$ \newline
				$\underline{z}_a = (R_1+R_2)||\frac{\underline{z}_{a,OPV}}{1+\underline{k} \cdot \underline{V}_{ud}}$
			}

		\subsubsection{Nichtinvertierender Standard Verstärker}
			\pbox{\imagewidth}{\includegraphics[width = \imagewidth - 1cm]{img_02_03_nichtinvertierender_verstaerker}}
			\parbox{\textwidth - \imagewidth}{
				$\underline{a}_V = 1 + \frac{R_2}{R_1}$ \newline
				$\underline{z}_{in} = \underline{z}_{id} \cdot (1+\underline{k} \cdot \underline{V}_{ud})$ \newline
				$\underline{z}_a = (R_1+R_2)||\frac{\underline{z}_{a,OPV}}{1+\underline{k} \cdot \underline{V}_{ud}}$
			}


		\subsubsection{Spannungsfolger, Impedanzwandler}
			\pbox{\imagewidth}{\includegraphics[width = {\imagewidth - 2cm}]{img_02_04_impedanzwandler}}
			\parbox{\textwidth - \imagewidth}{
				$\underline{a}_V = 1$ \newline
				$\underline{z}_{in} = \underline{z}_{id} \cdot (1 + 1 \cdot \underline{V}_{ud})$ \newline
				$\underline{z}_a = \frac{\underline{z}_{a,OPV}}{1 + 1 \cdot \underline{V}_{ud}}$
			}

		\subsubsection{Integrierer}
			\pbox{\imagewidth}{\includegraphics[width = \imagewidth - 1cm]{img_02_05_integrierer}}
			\parbox{\textwidth - \imagewidth + 1cm}{
				$U_2(t)= -\frac{1}{R \cdot C} \cdot \int_0^t U_1(t) \cdot dt + U_2(0)$ \newline
				$\frac{U_2(s)}{U_1(s)} = - \frac{1}{s \cdot R \cdot C}$ \newline
				$\underline{a}_V = - \frac{1}{j\omega \cdot R \cdot C}$ \newline
				$\underline{z}_{in} = R$ \newline
				$\underline{z}_a = (\frac{1}{j\omega \cdot C}+R)||\frac{\underline{z}_{a,OPV}}{1+\underline{k} \cdot \underline{V}_{ud}}$
			}

		\subsubsection{Differentiator (Differenzierer)}
			\pbox{\imagewidth}{\includegraphics[width = \imagewidth - 1cm]{img_02_06_differenzierer}}
			\parbox{\textwidth - \imagewidth}{
				$U_2(t) \approx - R_2 \cdot C_1 \cdot \frac{U_1(t)}{dt}$ \newline
				$\frac{U_2(s)}{U_1(s)} = - s \cdot R_2 \cdot C_1$ \newline
				$\underline{a}_V \approx - j\omega \cdot R_2 \cdot C_1$ \newline
				$\underline{z}_{in} \approx \frac{1}{j\omega \cdot C_1}$
			}
			\begin{emphbox}
				für $\varphi_R = 45\degree$ : $R_1 = \frac{1}{f_D\cdot 2 \pi \cdot C_1} = \frac{1}{2\pi \cdot C_1 \cdot \sqrt{\frac{GBW}{2\pi \cdot R_2 \cdot C_1}}}$
			\end{emphbox}

	\end{sectionbox}
	%Force column break
	\begin{sectionbox}


		\subsubsection{Summierer (Invertierend)}
			\pbox{\imagewidth}{\includegraphics[width = \imagewidth - 1cm]{img_02_07_summierer}}
			\parbox{\textwidth - \imagewidth}{
				$\underline{a}_{V,i} = \frac{R_2}{R_1}$ \newline
				$\underline{z}_{in,i} = R_1$ \newline
				$\underline{z}_a = (R_2+\frac{R_1}{n})||\frac{\underline{z}_{a,OPV}}{1 + \underline{k} \cdot \underline{V}_{ud}}$
		}

		\subsubsection{Differenzverstärker (aktiver Subtrahierer, einfache Struktur)}
			\pbox{5cm}{\includegraphics[width = 5cm - 1cm]{img_02_08_differenzverstaerker}}
			\parbox{\textwidth - 5cm + 1cm}{
				$\underline{u}_2 = -\frac{R_2}{R_1}\cdot \underline{u}_{in2}$ \newline $+ \frac{R_1+R_2}{R1}\cdot\frac{R_4}{R_3+R_4}\cdot\underline{u}_{in1}$ \newline
				$\underline{z}_{in1} = R_3 + R_4$ \newline
				$\underline{z}_{in2} = R_1 \big \vert _{\underline{u}_{in1}=0} = R_1$ \newline
				\begin{emphbox}
					Für $R_3=R_1$ und $R_4=R_2$ : \newline
					$\underline{u}_2 = \frac{R_2}{R_1}\cdot(\underline{u}_{in1} - \underline{u}_{in2})$
				\end{emphbox}
			}

	\subsubsection{Instrumentenverstärker (verbesserter Differenzverstärker)}
		\pbox{\imagewidth}{\includegraphics[width = \imagewidth - 1cm]{img_02_09_instrumentenverstaerker}}
		\parbox{\textwidth - \imagewidth + 1cm}{
			$\underline{u}_{out1} = (1+\frac{R_2}{R_1}) \cdot \underline{u}_{in1} - \frac{R_2}{R_1} \cdot \underline{u}_{in2}$ \newline
			$\underline{u}_{out2} = (1+\frac{R_2}{R_1}) \cdot \underline{u}_{in2} - \frac{R_2}{R_1} \cdot \underline{u}_{in1}$ \newline
			$\underline{u}_2 = \frac{R_4}{R_3} \cdot (1+2\cdot \frac{R_2}{R_1})\cdot (\underline{u}_{in1} - \underline{u}_{in2})$ \newline \newline
			$\underline{z}_{in1,2} \to \infty$
		}

	\subsubsection{Spannungsgesteuerte Stromquelle ($G_m$)}
		\pbox{\imagewidth}{\includegraphics[width = \imagewidth - 2cm]{img_02_10_stromquelle}}
		\parbox{\textwidth - \imagewidth}{
			$\underline{u}_1 = \underline{u}_2 \cdot (1-\frac{R_4 \cdot R_1}{R_3 \cdot R_2}+\frac{R_1}{R_L})$ \newline
			\begin{emphbox}
				Für $\frac{R_4}{R_3} = \frac{R_2}{R_1}$: \quad\
				$i_2 = \frac{1}{R_1} \cdot u_1$
			\end{emphbox}
		}

	\subsubsection{Negativ-Impedanz-Konverter (NIC)}
		\pbox{0.7\imagewidth}{\includegraphics[width = 0.7\imagewidth - 1cm]{img_02_11_NIC}}
		\parbox{\textwidth - 0.7\imagewidth}{
			$\underline{z}_1 = -\underline{Z} \cdot \frac{R_1}{R_2}$
			\begin{emphbox}
				Für $R_1 = R_2$: \quad\
				$\underline{z}_1 = -\underline{Z}$
			\end{emphbox}
		}

\end{sectionbox}

\begin{sectionbox}

	% Filter
	% ----------------------------------------------------------------------
	\subsection{Filter-Grundschaltungen mit OPV}
	%TODO
\end{sectionbox}
