Musterlösung Praktikum 4

praktika/04_bin_baum/aufgabe1_graphviz.py

@@ -0,0 +1,38 @@
+import sys
+import os
+sys.path.insert(0, os.path.join(os.path.dirname(os.path.abspath(__file__)), '..', '..'))
+
+from utils.algo_context import AlgoContext
+from utils.algo_array import Array
+from vorlesung.L05_binaere_baeume.bin_tree import BinaryTree
+
+ctx = AlgoContext()
+values = Array.from_file('data/seq0.txt', ctx)
+tree = BinaryTree(ctx)
+for cell in values:
+    tree.insert(cell.value)
+
+# graph_traversal() erzeugt eine DOT-Datei und rendert sie als PDF.
+# Die Datei landet im Verzeichnis, aus dem das Skript gestartet wird.
+tree.graph_traversal()
+
+# ── Antworten zu den Beobachtungsfragen ──────────────────────────────────────
+
+# Welcher Knoten ist die Wurzel?
+# Das erste eingefügte Element wird immer die Wurzel, da der Baum anfangs
+# leer ist. Hier ist das -59 (erste Zeile von seq0.txt).
+print("Wurzel:", tree.root.value)  # -59
+
+# Wie viele Blattknoten hat der Baum?
+# Ein Blattknoten hat weder ein linkes noch ein rechtes Kind.
+blattknoten = []
+def merke_blatt(node):
+    if node.left is None and node.right is None:
+        blattknoten.append(node.value)
+tree.in_order_traversal(merke_blatt)
+print("Blattknoten:", blattknoten)  # [-77, -50, 15, 48, 51, 58] → 6 Blätter
+
+# Wie groß ist die Höhe des Baums?
+# height() zählt rekursiv die längste Kante von der Wurzel zu einem Blatt.
+# Mit 14 Elementen und zufälliger Reihenfolge ergibt sich hier Höhe 6.
+print("Höhe:", tree.root.height())  # 6

praktika/04_bin_baum/aufgabe2_traversierungen.py

@@ -0,0 +1,60 @@
+import sys
+import os
+sys.path.insert(0, os.path.join(os.path.dirname(os.path.abspath(__file__)), '..', '..'))
+
+from utils.algo_context import AlgoContext
+from utils.algo_array import Array
+from vorlesung.L05_binaere_baeume.bin_tree import BinaryTree
+
+ctx = AlgoContext()
+values = Array.from_file('data/seq0.txt', ctx)
+tree = BinaryTree(ctx)
+for cell in values:
+    tree.insert(cell.value)
+
+# ── in_order_traversal ───────────────────────────────────────────────────────
+print("In-Order:")
+tree.in_order_traversal(lambda node: print(node.value, end=" "))
+print()
+# Ausgabe: -87 -77 -59 -50 14 15 34 46 47 48 50 51 52 58
+#
+# Warum sortiert?
+# Die BST-Eigenschaft garantiert: linker Teilbaum < Wurzel < rechter Teilbaum.
+# In-Order besucht genau in dieser Reihenfolge (links → Wurzel → rechts),
+# was rekursiv angewendet eine aufsteigende Sortierung ergibt.
+# In-Order-Traversal eines BST entspricht damit einer Sortierung der Schlüssel.
+
+# ── level_order_traversal ────────────────────────────────────────────────────
+print("\nLevel-Order:")
+tree.level_order_traversal(lambda node, level: print(f"Ebene {level}: {node.value}"))
+# Ausgabe: Wurzel zuerst, dann alle Knoten der Ebene 1, dann Ebene 2, …
+#
+# Was zeigt level_order, was in_order nicht zeigt?
+# level_order_traversal entspricht einer Breitensuche (BFS). Sie zeigt,
+# auf welcher Tiefenebene sich jeder Knoten befindet, und damit die
+# tatsächliche Struktur des Baums – nicht nur die sortierte Schlüsselfolge.
+# Zwei BSTs mit denselben Schlüsseln liefern identische in_order-Ausgaben,
+# aber unterschiedliche level_order-Ausgaben, wenn ihre Struktur verschieden ist.
+
+# ── graph_traversal ──────────────────────────────────────────────────────────
+# Relevante Stelle in bin_tree.py:
+#
+#   def graph_traversal(self):
+#       def define_node(node, level, line):
+#           node.graphviz_rep(level, line, dot)   ← Knoten positionieren
+#       ...
+#       self.tree_structure_traversal(define_node) ← Traversierung
+#       _rec(self.root)                            ← Kanten eintragen
+#
+# graph_traversal nutzt intern tree_structure_traversal – eine In-Order-
+# Traversal, die zusätzlich zu jedem Knoten seine Tiefe (level) und seine
+# In-Order-Position (line) mitliefert.
+#
+# level → y-Koordinate im Graphviz-Layout: je tiefer im Baum, desto weiter
+#          unten in der Abbildung (negiert: pos=f"{col},{-row}!")
+# line  → x-Koordinate: die In-Order-Position ergibt automatisch eine
+#          kollisionsfreie horizontale Anordnung ohne überlappende Knoten.
+#
+# tree_structure_traversal existiert also nicht als eigenständige Ausgabe-
+# Traversal, sondern als Hilfsmittel für die Positionsberechnung in graph_traversal.
+# Die Traversierungsreihenfolge ist identisch mit in_order_traversal.

praktika/04_bin_baum/aufgabe3_entartung.py

@@ -0,0 +1,57 @@
+import sys
+import os
+sys.path.insert(0, os.path.join(os.path.dirname(os.path.abspath(__file__)), '..', '..'))
+
+from utils.algo_context import AlgoContext
+from vorlesung.L05_binaere_baeume.bin_tree import BinaryTree
+
+# ── Entarteter BST: sortierte Eingabe ────────────────────────────────────────
+
+ctx = AlgoContext()
+tree_sorted = BinaryTree(ctx)
+for v in range(1, 9):
+    tree_sorted.insert(v)
+
+tree_sorted.graph_traversal()  # → entarteter Baum sichtbar: eine gerade Kette
+
+print("Höhe (sortierte Eingabe):", tree_sorted.root.height())  # 8
+
+ctx.comparisons = 0
+tree_sorted.search(8)
+print("Vergleiche search(8) im entarteten Baum:", ctx.comparisons)  # 16
+# Jeder Knoten (1 bis 8) erfordert zwei Vergleiche: value < node? (nein)
+# und value > node? (ja, bis der gesuchte Knoten gefunden ist).
+# Das entspricht einer linearen Suche: O(n).
+
+# ── Referenz: ausgewogene Einfügereihenfolge ─────────────────────────────────
+
+ctx2 = AlgoContext()
+tree_balanced = BinaryTree(ctx2)
+for v in [4, 2, 6, 1, 3, 5, 7, 8]:  # Mitte zuerst → ausgewogener Baum
+    tree_balanced.insert(v)
+
+print("\nHöhe (ausgewogene Eingabe):", tree_balanced.root.height())  # 4
+
+ctx2.comparisons = 0
+tree_balanced.search(8)
+print("Vergleiche search(8) im ausgewogenen Baum:", ctx2.comparisons)  # 8
+
+# ── Antworten zu den Analysefragen ───────────────────────────────────────────
+
+# Wie viele Vergleiche benötigt search(8) im entarteten Baum?
+# 16 – der Baum entartet zur verketteten Liste, jeder Knoten wird besucht.
+
+# Wie viele im ausgewogenen Baum mit 8 Knoten?
+# 8 – die Höhe beträgt 4, jede Ebene kostet 2 Vergleiche (< und >).
+
+# Welche Eingabereihenfolge erzeugt immer einen ausgewogenen BST?
+# Median-First: stets den Median der aktuellen Teilfolge zuerst einfügen.
+# Das setzt voraus, dass alle Elemente bereits bekannt sind – bei dynamischen
+# Einfügungen (ein Element nach dem anderen, ohne Vorwissen) ist das nicht
+# möglich. Deshalb reicht es nicht, nur die Einfügereihenfolge zu steuern.
+
+# Was muss eine Datenstruktur garantieren?
+# Sie muss die Baumhöhe nach jeder Einfüge- oder Löschoperation automatisch
+# auf O(log n) begrenzen – unabhängig von der Eingabereihenfolge.
+# AVL-Bäume erreichen das, indem sie nach jeder Operation den Balance-Faktor
+# prüfen und bei Bedarf Rotationen durchführen.

praktika/04_bin_baum/aufgabe4_avl_delete.py

@@ -0,0 +1,59 @@
+import sys
+import os
+sys.path.insert(0, os.path.join(os.path.dirname(os.path.abspath(__file__)), '..', '..'))
+
+from utils.algo_context import AlgoContext
+from vorlesung.L05_binaere_baeume.avl_tree import AVLTree
+
+ctx = AlgoContext()
+tree = AVLTree(ctx)
+for v in [10, 5, 15, 3, 7, 12, 20, 1, 4, 6, 8]:
+    tree.insert(v)
+
+print("Ausgangszustand:")
+tree.in_order_traversal(lambda n: print(n.value, end=" "))
+print()
+tree.graph_traversal()
+
+# ── Fall 1: Blattknoten löschen (1 ist Blatt) ────────────────────────────────
+tree.delete(1)
+print("\nNach Löschen von 1 (Blatt):")
+tree.in_order_traversal(lambda n: print(n.value, end=" "))
+print()
+tree.graph_traversal()
+
+# ── Fall 2: Knoten mit einem Kind löschen (3 hat jetzt nur noch Kind 4) ──────
+tree.delete(3)
+print("\nNach Löschen von 3 (ein Kind):")
+tree.in_order_traversal(lambda n: print(n.value, end=" "))
+print()
+tree.graph_traversal()
+
+# ── Fall 3: Knoten mit zwei Kindern löschen (10 hat linkes Kind 5, rechtes 15)
+tree.delete(10)
+print("\nNach Löschen von 10 (zwei Kinder):")
+tree.in_order_traversal(lambda n: print(n.value, end=" "))
+print()
+tree.graph_traversal()
+# Inorder-Nachfolger von 10 ist 12 (kleinstes Element im rechten Teilbaum).
+# 12 übernimmt den Platz von 10, anschließend wird rebalanciert.
+
+# ── Antworten zu den Verständnisfragen ───────────────────────────────────────
+
+# Warum muss node.parent = parent nach dem Löschen neu gesetzt werden?
+#
+# BinaryTree kennt keine parent-Zeiger — delete() gibt lediglich
+# (nachfolgender_knoten, elternknoten) als plain-Python-Tupel zurück.
+# AVLTree pflegt parent-Zeiger, weil balance() sie benötigt, um den Pfad
+# von einem Knoten aufwärts zur Wurzel zu traversieren.
+# Ohne die Aktualisierung würde balance() an einem veralteten parent-Zeiger
+# hängen und die Rebalancierung unvollständig oder fehlerhaft ausführen.
+
+# Warum beginnt die Rebalancierung mit balance(parent) statt balance(node)?
+#
+# Das Löschen verändert die Höhe des Teilbaums, in dem der Knoten stand.
+# Diese Höhenänderung kann den Balance-Faktor des Elternknotens (und aller
+# Vorfahren bis zur Wurzel) aus dem Gleichgewicht bringen.
+# Der gelöschte (oder ersetzte) Knoten selbst ist entweder weg oder ein Blatt
+# — er ist kein sinnvoller Startpunkt für die Aufwärts-Traversal.
+# balance(parent) startet genau dort, wo die Höhenänderung zuerst spürbar ist.

praktika/04_bin_baum/aufgabe5_analyse.py

@@ -0,0 +1,85 @@
+import sys
+import os
+sys.path.insert(0, os.path.join(os.path.dirname(os.path.abspath(__file__)), '..', '..'))
+
+import random
+from utils.algo_context import AlgoContext
+from vorlesung.L05_binaere_baeume.bin_tree import BinaryTree
+from vorlesung.L05_binaere_baeume.avl_tree import AVLTree
+
+# ── Theoretische Herleitung ───────────────────────────────────────────────────
+
+# AVL-Baum / ausgeglichener BST
+# Bei jedem Schritt der Suche wird genau ein Teilbaum mit (ungefähr) halber
+# Größe weiterverfolgt:
+#
+#   T(n) = T(n/2) + O(1)
+#
+# Master-Theorem: a=1, b=2, f(n)=O(1)
+#   log_b(a) = log_2(1) = 0  →  f(n) = O(n^0) = O(n^log_b(a))
+#   → Fall 2: T(n) = O(log n)
+
+# BST – Worst Case (sortierte Eingabe, entarteter Baum)
+# Der Baum ist eine verkettete Liste; jeder Schritt reduziert das Problem um 1:
+#
+#   T(n) = T(n-1) + O(1)
+#
+# Kein Master-Theorem (b > 1 gefordert). Direkte Auflösung durch Entfalten:
+#   T(n) = T(n-2) + 2·c = … = T(0) + n·c  →  O(n)
+
+# BST – zufällige Eingabe (Expected Case)
+# Bei zufälliger Einfügereihenfolge teilt die Wurzel den Schlüsselraum im
+# Erwartungswert in zwei ungefähr gleich große Hälften – analog zum
+# durchschnittlichen Fall bei Quicksort. Daraus folgt eine erwartete Höhe
+# von O(log n), empirisch ca. 2,5 · log₂(n). Ein formaler Beweis erfordert
+# eine Wahrscheinlichkeitsanalyse über alle n! Permutationen.
+
+# ── Empirische Messung ───────────────────────────────────────────────────────
+
+SIZES = [10, 100, 500]
+
+print(f"{'n':>5}  {'BST zufällig':>14}  {'BST sortiert':>14}  {'AVL sortiert':>14}")
+print("-" * 55)
+
+for n in SIZES:
+    # BST, zufällige Eingabe
+    ctx = AlgoContext()
+    tree = BinaryTree(ctx)
+    values = random.sample(range(n * 10), n)
+    for v in values:
+        tree.insert(v)
+    ctx.comparisons = 0
+    tree.search(values[-1])
+    cmp_random = ctx.comparisons
+
+    # BST, sortierte Eingabe
+    ctx = AlgoContext()
+    tree = BinaryTree(ctx)
+    for v in range(1, n + 1):
+        tree.insert(v)
+    ctx.comparisons = 0
+    tree.search(n)
+    cmp_sorted = ctx.comparisons
+
+    # AVL-Baum, sortierte Eingabe
+    ctx = AlgoContext()
+    tree = AVLTree(ctx)
+    for v in range(1, n + 1):
+        tree.insert(v)
+    ctx.comparisons = 0
+    tree.search(n)
+    cmp_avl = ctx.comparisons
+
+    print(f"{n:>5}  {cmp_random:>14}  {cmp_sorted:>14}  {cmp_avl:>14}")
+
+# ── Abschlussfrage ────────────────────────────────────────────────────────────
+#
+# Stimmen die Messwerte mit den theoretischen Komplexitätsklassen überein?
+#
+# BST sortiert wächst linear mit n (2·n Vergleiche für das letzte Element),
+# was die hergeleitete O(n)-Komplexität bestätigt.
+#
+# BST zufällig und AVL sortiert wachsen logarithmisch: für n=500 liegen die
+# Vergleiche bei ca. 20 bzw. 18 – weit unter dem linearen Worst Case.
+# Das bestätigt O(log n) für beide, wobei der AVL-Baum die Schranke
+# garantiert und der zufällige BST sie nur im Erwartungswert einhält.