\section {Nichtlinears Bauelement}
Für ein nichtlinears Bauelement gilt: $i=a\cdot u^2$ \\
Berechnen Sie den Klirrfaktor des Stromes, wenn die Spannung $u(t)=U_0+\widehat{u}\cdot \sin(\omega t)$ angelegt wird.\\[\baselineskip]
$a=20\,\milli\ampere\per\volt^2;\quad U_0=1{,}5\,\volt;\quad \widehat{u}=1{,}2\,\volt; \quad \omega=1500\,\power{\second}{-1}$\\[\baselineskip]
Es gilt $\sin^2\alpha=0{,}5\cdot (1-\cos(2\alpha))$\\[\baselineskip]
\ifthenelse{\equal{\toPrint}{Lösung}}{%
%\begin{align}
%\intertext{Formeln:}
%\end{align}
Berechnung:\\
\begin{align*}
k_i&=\frac{I_2}{\sqrt{I^2_1+I^2_2}}\qquad\text{$\omega$ ohne Bedeutung}\\
(\alpha&=\omega t)\\
i(t)&=a\cdot (U_0+\widehat{u}\cdot \sin\alpha)^2=a\cdot (U^2_0+2\cdot U_0\cdot \widehat{u}\cdot \sin\alpha+\widehat{u}^2 \overbrace{\cdot \sin^2\alpha)}^{0,5-0,5\cdot cos(2\alpha)}\\
&=\overbrace{a\cdot U^2_0}^{DC}+\underbrace{2\cdot a\cdot U_0\cdot \widehat{u}}_{\widehat{i}_1}\cdot \sin\alpha+\overbrace{0{,}5\cdot a\cdot \widehat{u}^2}^{DC}-\underbrace{0{,}5\cdot a\cdot \widehat{u}^2}_{\widehat{i}_2}\cdot \cos(2\alpha)\qquad\text{DC=Gleichanteil, ohne Einfluß}\\[\baselineskip]
k_i&=\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot 0{,}5\cdot a\cdot \widehat{u}^2}{\sqrt{\frac{1}{2}\cdot 4\cdot a^2\cdot U^2_0\cdot \widehat{u}^2+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{4}\cdot a^2\cdot \widehat{u}^4}}
=\frac{\cancel{\frac{1}{\sqrt{2}}}\cdot 0{,}5\cdot \cancel{a}\cdot \widehat{u}\cancel{^2}}
{\cancel{\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot a\cdot \widehat{u}}\cdot \sqrt{4\cdot U^2_0\cdot +\frac{1}{4}\cdot \widehat{u}^2}}\\
&=\frac{0{,}5\cdot \widehat{u}}{\sqrt{4\cdot U^2_0+\frac{1}{4}\cdot \widehat{u}^2}}=\frac{0{,}5\cdot 1{,}2\,\volt}{\sqrt{4\cdot 1{,}5^2\,\volt^2+\frac{1}{4}\cdot 1{,}2^2\,\volt^2}}=\uuline{0{,}1961}=\uuline{19{,}61\%}
\end{align*}
alternativ:
\begin{align*}
I_1&=\frac{\widehat{i}_1}{\sqrt{2}}=50{,}91\,\milli\ampere\\
I_2&=\frac{\widehat{i}_2}{\sqrt{2}}=10{,}18\,\milli\ampere\\
k_i&=\frac{I_2}{\sqrt{I^2_1+I^2_2}}=\frac{10{,}18\,\milli\ampere}{\sqrt{(50{,}91\,\milli\ampere)^2
+(10{,}18\,\milli\ampere)^2}}=\uuline{0{,}1961}=\uuline{19{,}61\%}
\end{align*}
\clearpage
}{}%