\section{Rechteckspannung}
Gegeben ist eine periodische Rechteckspannung mit der Periodendauer von $10\,\milli\second$.\\
Berechnen Sie den Effektivwert, wenn der arithmetische Mittelwert gleich Null ist.\\
\begin{align*}
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
		\begin{scope}[>=latex,thick] 			
			\draw [->](0,-2) -- (10.75,-2) node [right] {$t\,[\milli\second]$};
			\draw [->](0,0) -- (0,5.5) node [above] {$u\,[\volt]$};
			\draw [<->,blue, very thick] (-.5,0)--(-.5,5) node at (0,2.5)[right]{$5\,\volt$};
			\draw [red,very thick](-0.5,0)--(0,0)--(0,5)--(7,5)--(7,0)--(10,0)
						--(10,5)--(10.5,5);				
				\foreach \x in {0,1,...,10}
					\draw (\x,-2) -- (\x,-2.2) node[anchor=north] {$\x$};
				\foreach \y in {0,1,...,5}
					\draw (0,\y) -- (-0.2,\y);% node[anchor=east] {$\y$};
		\end{scope}
	\end{tikzpicture}
\end{align*}
\ifthenelse{\equal{\toPrint}{Lösung}}{%
\begin{align}
\intertext{Formeln:}
\overline{u}&=\frac{1}{T}\cdot \int_{t=0}^{T}{u(t)\cdot dt}&\text{Arithmetischer Mittelwert}\\
U&=U_{\textrm{eff}}=\sqrt{\frac{1}{T}\cdot \int_{t=0}^{T}{u^2(t)\cdot dt}}&\text{Effektivwert}&
\end{align}
\begin{align*}
\intertext{Berechnung:}
\intertext{a) Arithmetischer Mittelwert $\overline{u}=0$}
&\text{$\Rightarrow$ Fläche ober- und unterhalb der Nulllinie muß gleich sein!}\\
&\text{$\Rightarrow$ Wo ist die Nulllinie?}
\end{align*}
\begin{align*}
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
		\begin{scope}[>=latex,thick] 			
			\draw [->](0,0) -- (10.75,0) node [right] {$t\,[\milli\second]$};
			\draw [->](0,0) -- (0,5.5) node [above] {$u\,[\volt]$};
			\fill [black!15!] (0,3.5)rectangle(7,5) (7,3.5)rectangle(10,0);
			\draw [red,very thick](-0.5,0)--(0,0)--(0,5)--(7,5)--(7,0)--(10,0)
						--(10,5)--(10.5,5);	
			\draw [blue,very thick] (0,3.5)--(10,3.5) node [right]{NULL};	
			\draw [->,blue,very thick] (3.5,3.5)--(3.5,5) node at(3.5,4.25)[right]{$u_1$};			 
			\draw [<-,blue,very thick] (8.5,0)--(8.5,3.5) node  at(8.5,1.75)[right]{$u_2$};
				\foreach \x in {0,1,...,10}
					\draw (\x,0) -- (\x,-0.2) node[anchor=north] {$\x$};
				\foreach \y in {-3.5,-2.5,...,1.5}
					\draw (0,\y+3.5) -- (-0.2,\y+3.5) node[anchor=east] {$\y$};
		\end{scope}
	\end{tikzpicture}
\end{align*}
\enlargethispage{1cm}
\begin{align*}
&u_1+(-u_2)=5\,\volt\rightarrow u_2=-(5\,\volt-u_1)\\
&\text{Fläche:}\\
&\frac{1}{T}\int_{0}^{T}{u(t)\cdot dt}\stackrel{!}{=}0\\
&\frac{1}{T}\cdot \left(\int_{0}^{7\,\milli\second}{u_1\cdot dt}-\int_{7\,\milli\second}^{10\,\milli\second}{u_2\cdot dt}\right)\stackrel{!}{=}0\\
&u_1\cdot 7\,\milli\second-u_2\cdot 3\,\milli\second=0\\
&u_1\cdot 7\,\milli\second-(5\,\volt-U_1)\cdot 3\,\milli\second=0\\
&(7\,\milli\second+3\,\milli\second)\cdot u_1=15\,\volt\cdot \milli\second\\
&u_1=\frac{15\,\volt\cdot \milli\second}{10\,\milli\second}=\uuline{1{,}5\,\volt}\\
&u_2=-(5\,\volt-1{,}5\,\volt)=\uuline{-3{,}5\,\volt}
\intertext{Alternativ mit Beträgen}
&|u_1|+|u_2|=5\,\volt\rightarrow |u_2|=5\,\volt-|u_1|\\
&\text{Fläche:}\\
&\frac{1}{T}\int_{0}^{T}{u(t)\cdot dt}\stackrel{!}{=}0\\
&\frac{1}{T}\cdot \left(\int_{0}^{7\,\milli\second}{u_1\cdot dt}-\int_{7\,\milli\second}^{10\,\milli\second}{u_2\cdot dt}\right)\stackrel{!}{=}0\\
&u_1\cdot 7\,\milli\second-u_2\cdot 3\,\milli\second=0\\
&u_1\cdot 7\,\milli\second-(5\,\volt-|u_1|)\cdot 3\,\milli\second=0\\
&(7\,\milli\second+3\,\milli\second)\cdot |u_1|=15\,\volt\cdot \milli\second\\
&|u_1|=\frac{15\,\volt\cdot \milli\second}{10\,\milli\second}=\uline{1{,}5\,\volt}\qquad
|u_2|=5\,\volt-1{,}5\,\volt)=\uline{3{,}5\,\volt}\\
&\text{Da $u_1$ positives Vorzeichen in der Skizze hat, muss $u_2$ ein negatives Vorzeichen erhalten.}\\
\Rightarrow& u_1=\uuline{1{,}5\,\volt} \qquad u_2=\uuline{-3{,}5\,\volt}
\intertext{b) Effektivwert}
U^2&=U^2_{\textrm{eff}}=\frac{1}{T}\int{\left(u(t)\right)^2\cdot dt}\\
&=\frac{1}{10\,\milli\second}\left(\int_{0}^{7\,\milli\second}{(1{,}5\,\volt)^2\cdot dt}+\int_{7\,\milli\second}^{10\,\milli\second}{(-3{,}5\,\volt)^2\cdot dt}\right)\\
&=\frac{1}{10\,\milli\second}\cdot \left(2{,}25\,\volt^2\cdot \big[t\big]_{0}^{7\,\milli\second}+12{,}25\,\volt^2\cdot \big[t\big]_{7\,\milli\second}^{10\,\milli\second}\right)\\
&=\frac{1}{10\,\milli\second}\cdot \left(2{,}25\,\volt^2\cdot 7\,\milli\second+12{,}25\,\volt^2\cdot (10\,\milli\second-7\,\milli\second)\right)=5{,}25\,\volt^2\\
U&=\sqrt{5{,}25\,\volt^2}=\uuline{2{,}29\,\volt}
\end{align*}
\clearpage
}{}%
