ET2_Uebung_BEI/ET2_L_B12_A3.tex

\section{Metallstab}
Ein Metallstab $M$ rotiert um die Achse $A$ mit der Winkelgeschwindigkeit $\omega$.\\
Der Metallstab schleift auf dem Metallring $S$. Senkrecht zu dem Metallstab und Metallring wirkt eine homogene magnetische Flussdichte $\vec{B}=B_z\cdot \vec{e}_z$\\
Zwischen Schleifring und Achse wird eine Gleichspannung $U_{SA}$ gemessen.\\[\baselineskip]
Berechnen Sie die Flussdichte $B_z$.\\[\baselineskip]
$R=2\,\centi\metre$; $\omega =100\cdot \pi\cdot\frac{1}{\second}$ ; $U_{SA}=25\,\milli\volt$.\\
\begin{align*}
	\begin{tikzpicture}[scale=1.5]
		\begin{scope}[>=latex,thick,xshift=0,yshift=0] 			
			\draw [->] (0,0) -- (0,5) node  [above] {$y$};
			\draw [->] (0,0) -- (5,0) node  [right] {$x$};
			\draw [draw=black,fill=white,very thick](0,0) circle (0.1) node at (0,-.25) [below]{$z$};
			\fill [fill=black] (0,0) circle (0.04);
		\end{scope}
		\begin{scope}[>=latex,very thick,xshift=2.5cm,yshift=2.5cm]
			\draw [red,ultra thick](-2,-2) -- (2,2) node [below right]{M};	
			\draw [->](0,0) -- (0,-2) node at (0,-1)[right]{$R$};
			\draw [->](-1.414,1.414) --  (0,0)node at (-0.707,0.707) [right]{$U_{SA}$};	
			\draw [blue](0,0) circle (2)node at (0,2)[above] {S};
			\draw [->,red](0,0) -- (45:1.414) arc (45:30:1.5cm) node [below] {$\omega$};
			\fill [blue](0,0) circle (0.1) node [below right] {A};
		\end{scope}
		\begin{scope}[>=latex,very thick,xshift=3.5cm,yshift=2.5cm]
			\draw [red] (0,0) circle (0.1) node [below]{$\vec{B}$};
			\fill [red] (0,0) circle (0.04);		
		\end{scope}
	\end{tikzpicture}
\end{align*}
\ifthenelse{\equal{\toPrint}{Lösung}}{%
\begin{align}
\intertext{Formeln:}
u_{ind}&=-N\cdot \Bigg(\underbrace{\frac{dB(t)}{dt}\cdot A(t)}_{\mathrm{Ruheinduktion}}+\underbrace {\frac{B(t)}{dt}\cdot dA(t)}_{\mathrm{Bewegungsinduktion}}\Bigg)
\end{align}
\begin{align*}
\intertext{Berechnung:}
	\begin{tikzpicture}[scale=2]
		\begin{scope}[>=latex,thick,xshift=0,yshift=0] 			
			\draw [->] (0,0) -- (0,5) node  [above] {$y$};
			\draw [->] (0,0) -- (5,0) node  [right] {$x$};
			\draw [draw=black,fill=white,very thick](0,0) circle (0.1) node at (0,-.25) [below]{$z$};
			\fill [fill=black] (0,0) circle (0.04);
		\end{scope}
		\begin{scope}[>=latex,very thick,xshift=2.5cm,yshift=2.5cm]
			\fill [black!15!](0,0) -- (45:2) arc (45:30:2cm) -- (0,0);
			\draw node at (30:2)[above right]{$dt$};
			\draw [red,ultra thick](-2,-2) -- (2,2) node [below right]{M};	
			\draw [->](0,0) -- (0,-2) node at (0,-1)[right]{$R$};
			\draw [->](-1.414,1.414) --  (-0.05,0.05)node at (-0.707,0.707) [right]{$U_{SA}$};	
			\draw [blue](0,0) circle (2)node at (0,2)[above] {S};
			\draw [->,red](0,0) -- (45:1.414) arc (45:30:1.5cm) node [below] {$\omega$};
			\fill [blue](0,0) circle (0.1) node [below right] {A};
		\end{scope}
		\begin{scope}[>=latex,very thick,xshift=3.5cm,yshift=2.5cm]
			\draw [red] (0,0) circle (0.1) node [below]{$\vec{B}$};
			\fill [red] (0,0) circle (0.04);		
		\end{scope}
		\begin{scope}[>=latex,very thick,xshift=1cm,yshift=2.5cm]% Voltmeter 			
			\draw [red!50!blue](-.5,0)--(.25,0) (.75,0)--(1.5,0) node at (.5,.25) [above] {$V$};
			\draw [red!50!blue](.5,0)circle(.25);
			\draw [->,red!50!blue](.25,-.5)--(.75,.5)node at (.2,0) [above] {$+$};
		\end{scope}		
	\end{tikzpicture}
\end{align*}
\begin{align*}
\intertext{Bewegungsinduktion! $N=1$, homogenes zeitlich unverändertes Feld $B$ $\bot$ zu $\omega$}
u_{ind}&=-\frac{d\Phi}{dt}=-B\cdot \frac{dA(t)}{dt}\\
\intertext{Der Metallstab überstreicht im Zeitintervall $dt$ den vom Fluß $\Phi$ durchsetzten Kreissektor mit der Fläche}
dA(t)&=\underbrace{R^2\cdot \pi}_{\text{Kreisfläche}}\cdot \underbrace{\frac{\omega\cdot dt}{2\pi}}_{\text{Segment}}\\
dA(t)&=\frac{1}{2}\cdot R^2\cdot \omega\cdot dt\\
\frac{dA(t)}{dt}&=\frac{1}{2}\cdot R^2\cdot \omega\\
\frac{d\Phi}{dt}&=B\cdot \frac{1}{2}\cdot R^2\cdot \omega \\
u_{ind}&=-\frac{d\Phi}{dt}=-B\cdot \frac{1}{2}\cdot R^2\cdot \omega\\
|u_{ind}|&=|B_z|\cdot \frac{1}{2}\cdot R^2\cdot \omega\\
|B_z|&=\frac{2\cdot U_{SA}}{R^2\cdot \omega}=\frac{2\cdot 25\,\milli\volt}{(2\,\centi\metre)^2\cdot 100\cdot \pi\cdot \frac{1}{\second}}=\uuline{0{,}398\,\frac{\volt\second}{\square\metre}}
\end{align*}
\clearpage
\textbf{Alternativ:}\\
Bewegungsinduktion mit $v(r)=\omega\cdot r$  (radiusabhängig)
\begin{align*}
% \intertext{Bewegungsinduktion mit $v(r)=\omega\cdot r$  (radiusabhängig)}
|u_{ind}|&=\int{(\vec{v} \times \vec{B})\cdot \vec{dl}}=\int{v\cdot |B_z|\cdot dr}=\omega\cdot |B_z|\int_{r=0}^{R}{r\cdot dr}=\omega\cdot |B_z|\left[\frac{r^2}{2}\right]_{0}^{R}=\frac{1}{2}\cdot \omega\cdot |B_z|\cdot R^2\\
|B_z|&=\uuline{0{,}398\,\frac{\volt\second}{\square\metre}}
% \intertext{Richtung der Lorenzkraft $\vec{F}_L$ wirkt so, daß positive Ladungsträger $q$ zum Zentrum $(A)$ gedrückt werden  (entspricht der technischen Stromrichtung $I$).} 
\end{align*}
Richtung der Lorenzkraft $\vec{F}_L$ wirkt so, daß positive Ladungsträger $q$ zum Zentrum $(A)$ gedrückt werden  (entspricht der technischen Stromrichtung $I$).\\

$\vec{F}_L=q(\vec{v}\times \vec{B});\qquad (F_L=q\cdot v\cdot B\text{, wenn }v\bot B)$\\

Rechte Hand Regel:\\ 
Der \textbf{Daumen} zeigt in Richtung der Ursache:\\
a.) Bewegter Leiter im Magnetfeld: Die Relativbewegung $\vec{v}$ des Leiters im Magnetfeld\\
b.) Strom durch Leiter im Magnetfeld: Die technische Stromrichtung $I$ bzw. Bewegungsrichtung der positiven Ladung $q$\\
Der \textbf{Zeigefinger} zeigt senkrecht zum Daumen in Richtung der magnetischen Feldlinien, also der Vermittlung (auch Verknüpfung), also dem Magnetfeld $\vec{B}$\\
Der \textbf{Mittelfinger} zeigt senkrecht zu Daumen und Zeigefinger in Richtung der Wirkung, der Lorentzkraft $\vec{F}_L$ \\

a.) Bewegter  Leiter im Magnetfeld
\begin{align*} 
	\begin{tikzpicture}[scale=1]
		\begin{scope}[>=latex, xshift=0, yshift=0] 			
			\draw [->](0,0)--(1,0,0) node [right]{$\vec{v}$\,\text{(Daumen)}};		
			\draw [->](0,0)--(0,1,0) node [above]{$\vec{B}$\,\text{(Zeigefinger)}};
			\draw [->](0,0)--(0,0,1.41) node [below]{$\vec{F}_L$ \,\text{(Mittelfinger) Kraft auf pos. Ladung} $q\Rightarrow I$};
% 			\draw node at (0,2.25)[left]{Rechte Hand Regel};
		\end{scope}
	\end{tikzpicture}\\
% \hspace{1cm}
\end{align*}
\begin{align*}	
&\text{Da $U_{SA}$ positiv, muß $B_z$ negativ sein. }
\Rightarrow B_z=\uuline{-0{,}398\,\frac{\volt\second}{\square\metre}}\\
\end{align*}

b.) Strom durch Leiter im Magnetfeld:
\begin{align*}
	\begin{tikzpicture}[scale=1]
		\begin{scope}[>=latex, xshift=0, yshift=1cm] 			
			\draw [->](0,0)--(1,0,0) node [right]{$\vec{F}_L$ \,\text{(Mittelfinger)}};		
			\draw [->](0,0)--(0,-1,0) node [below]{$\vec{B}$ \,\text{(Zeigefinger)}};
			\draw [->](0,0)--(0,0,1.41) node [left]{$i=\frac{dq}{dt}$\,\text{(Daumen)}};	%\ \sim\  \vec{v}		
		\end{scope}
	\end{tikzpicture}
\end{align*}

\clearpage
}{}%