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TeX
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\section{Metallstab}
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Ein Metallstab $M$ rotiert um die Achse $A$ mit der Winkelgeschwindigkeit $\omega$.\\
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Der Metallstab schleift auf dem Metallring $S$. Senkrecht zu dem Metallstab und Metallring wirkt eine homogene magnetische Flussdichte $\vec{B}=B_z\cdot \vec{e}_z$\\
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Zwischen Schleifring und Achse wird eine Gleichspannung $U_{SA}$ gemessen.\\[\baselineskip]
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Berechnen Sie die Flussdichte $B_z$.\\[\baselineskip]
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$R=2\,\centi\metre$; $\omega =100\cdot \pi\cdot\frac{1}{\second}$ ; $U_{SA}=25\,\milli\volt$.\\
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\begin{align*}
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\begin{tikzpicture}[scale=1.5]
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\begin{scope}[>=latex,thick,xshift=0,yshift=0]
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\draw [->] (0,0) -- (0,5) node [above] {$y$};
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\draw [->] (0,0) -- (5,0) node [right] {$x$};
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\draw [draw=black,fill=white,very thick](0,0) circle (0.1) node at (0,-.25) [below]{$z$};
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\fill [fill=black] (0,0) circle (0.04);
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\end{scope}
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\begin{scope}[>=latex,very thick,xshift=2.5cm,yshift=2.5cm]
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\draw [red,ultra thick](-2,-2) -- (2,2) node [below right]{M};
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\draw [->](0,0) -- (0,-2) node at (0,-1)[right]{$R$};
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\draw [->](-1.414,1.414) -- (0,0)node at (-0.707,0.707) [right]{$U_{SA}$};
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\draw [blue](0,0) circle (2)node at (0,2)[above] {S};
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\draw [->,red](0,0) -- (45:1.414) arc (45:30:1.5cm) node [below] {$\omega$};
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\fill [blue](0,0) circle (0.1) node [below right] {A};
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\end{scope}
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\begin{scope}[>=latex,very thick,xshift=3.5cm,yshift=2.5cm]
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\draw [red] (0,0) circle (0.1) node [below]{$\vec{B}$};
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\fill [red] (0,0) circle (0.04);
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\end{scope}
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\end{tikzpicture}
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\end{align*}
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\ifthenelse{\equal{\toPrint}{Lösung}}{%
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\begin{align}
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\intertext{Formeln:}
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u_{ind}&=-N\cdot \Bigg(\underbrace{\frac{dB(t)}{dt}\cdot A(t)}_{\mathrm{Ruheinduktion}}+\underbrace {\frac{B(t)}{dt}\cdot dA(t)}_{\mathrm{Bewegungsinduktion}}\Bigg)
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\end{align}
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\begin{align*}
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\intertext{Berechnung:}
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\begin{tikzpicture}[scale=2]
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\begin{scope}[>=latex,thick,xshift=0,yshift=0]
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\draw [->] (0,0) -- (0,5) node [above] {$y$};
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\draw [->] (0,0) -- (5,0) node [right] {$x$};
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\draw [draw=black,fill=white,very thick](0,0) circle (0.1) node at (0,-.25) [below]{$z$};
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\fill [fill=black] (0,0) circle (0.04);
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\end{scope}
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\begin{scope}[>=latex,very thick,xshift=2.5cm,yshift=2.5cm]
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\fill [black!15!](0,0) -- (45:2) arc (45:30:2cm) -- (0,0);
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\draw node at (30:2)[above right]{$dt$};
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\draw [red,ultra thick](-2,-2) -- (2,2) node [below right]{M};
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\draw [->](0,0) -- (0,-2) node at (0,-1)[right]{$R$};
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\draw [->](-1.414,1.414) -- (-0.05,0.05)node at (-0.707,0.707) [right]{$U_{SA}$};
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\draw [blue](0,0) circle (2)node at (0,2)[above] {S};
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\draw [->,red](0,0) -- (45:1.414) arc (45:30:1.5cm) node [below] {$\omega$};
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\fill [blue](0,0) circle (0.1) node [below right] {A};
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\end{scope}
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\begin{scope}[>=latex,very thick,xshift=3.5cm,yshift=2.5cm]
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\draw [red] (0,0) circle (0.1) node [below]{$\vec{B}$};
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\fill [red] (0,0) circle (0.04);
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\end{scope}
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\begin{scope}[>=latex,very thick,xshift=1cm,yshift=2.5cm]% Voltmeter
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\draw [red!50!blue](-.5,0)--(.25,0) (.75,0)--(1.5,0) node at (.5,.25) [above] {$V$};
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\draw [red!50!blue](.5,0)circle(.25);
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\draw [->,red!50!blue](.25,-.5)--(.75,.5)node at (.2,0) [above] {$+$};
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\end{scope}
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\end{tikzpicture}
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\end{align*}
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\begin{align*}
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\intertext{Bewegungsinduktion! $N=1$, homogenes zeitlich unverändertes Feld $B$ $\bot$ zu $\omega$}
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u_{ind}&=-\frac{d\Phi}{dt}=-B\cdot \frac{dA(t)}{dt}\\
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\intertext{Der Metallstab überstreicht im Zeitintervall $dt$ den vom Fluß $\Phi$ durchsetzten Kreissektor mit der Fläche}
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dA(t)&=\underbrace{R^2\cdot \pi}_{\text{Kreisfläche}}\cdot \underbrace{\frac{\omega\cdot dt}{2\pi}}_{\text{Segment}}\\
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dA(t)&=\frac{1}{2}\cdot R^2\cdot \omega\cdot dt\\
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\frac{dA(t)}{dt}&=\frac{1}{2}\cdot R^2\cdot \omega\\
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\frac{d\Phi}{dt}&=B\cdot \frac{1}{2}\cdot R^2\cdot \omega \\
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u_{ind}&=-\frac{d\Phi}{dt}=-B\cdot \frac{1}{2}\cdot R^2\cdot \omega\\
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|u_{ind}|&=|B_z|\cdot \frac{1}{2}\cdot R^2\cdot \omega\\
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|B_z|&=\frac{2\cdot U_{SA}}{R^2\cdot \omega}=\frac{2\cdot 25\,\milli\volt}{(2\,\centi\metre)^2\cdot 100\cdot \pi\cdot \frac{1}{\second}}=\uuline{0{,}398\,\frac{\volt\second}{\square\metre}}
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\end{align*}
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\clearpage
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\textbf{Alternativ:}\\
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Bewegungsinduktion mit $v(r)=\omega\cdot r$ (radiusabhängig)
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\begin{align*}
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% \intertext{Bewegungsinduktion mit $v(r)=\omega\cdot r$ (radiusabhängig)}
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|u_{ind}|&=\int{(\vec{v} \times \vec{B})\cdot \vec{dl}}=\int{v\cdot |B_z|\cdot dr}=\omega\cdot |B_z|\int_{r=0}^{R}{r\cdot dr}=\omega\cdot |B_z|\left[\frac{r^2}{2}\right]_{0}^{R}=\frac{1}{2}\cdot \omega\cdot |B_z|\cdot R^2\\
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|B_z|&=\uuline{0{,}398\,\frac{\volt\second}{\square\metre}}
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% \intertext{Richtung der Lorenzkraft $\vec{F}_L$ wirkt so, daß positive Ladungsträger $q$ zum Zentrum $(A)$ gedrückt werden (entspricht der technischen Stromrichtung $I$).}
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\end{align*}
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Richtung der Lorenzkraft $\vec{F}_L$ wirkt so, daß positive Ladungsträger $q$ zum Zentrum $(A)$ gedrückt werden (entspricht der technischen Stromrichtung $I$).\\
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$\vec{F}_L=q(\vec{v}\times \vec{B});\qquad (F_L=q\cdot v\cdot B\text{, wenn }v\bot B)$\\
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Rechte Hand Regel:\\
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Der \textbf{Daumen} zeigt in Richtung der Ursache:\\
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a.) Bewegter Leiter im Magnetfeld: Die Relativbewegung $\vec{v}$ des Leiters im Magnetfeld\\
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b.) Strom durch Leiter im Magnetfeld: Die technische Stromrichtung $I$ bzw. Bewegungsrichtung der positiven Ladung $q$\\
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Der \textbf{Zeigefinger} zeigt senkrecht zum Daumen in Richtung der magnetischen Feldlinien, also der Vermittlung (auch Verknüpfung), also dem Magnetfeld $\vec{B}$\\
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Der \textbf{Mittelfinger} zeigt senkrecht zu Daumen und Zeigefinger in Richtung der Wirkung, der Lorentzkraft $\vec{F}_L$ \\
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a.) Bewegter Leiter im Magnetfeld
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\begin{align*}
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\begin{tikzpicture}[scale=1]
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\begin{scope}[>=latex, xshift=0, yshift=0]
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\draw [->](0,0)--(1,0,0) node [right]{$\vec{v}$\,\text{(Daumen)}};
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\draw [->](0,0)--(0,1,0) node [above]{$\vec{B}$\,\text{(Zeigefinger)}};
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\draw [->](0,0)--(0,0,1.41) node [below]{$\vec{F}_L$ \,\text{(Mittelfinger) Kraft auf pos. Ladung} $q\Rightarrow I$};
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% \draw node at (0,2.25)[left]{Rechte Hand Regel};
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\end{scope}
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\end{tikzpicture}\\
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% \hspace{1cm}
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\end{align*}
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\begin{align*}
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&\text{Da $U_{SA}$ positiv, muß $B_z$ negativ sein. }
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\Rightarrow B_z=\uuline{-0{,}398\,\frac{\volt\second}{\square\metre}}\\
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\end{align*}
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b.) Strom durch Leiter im Magnetfeld:
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\begin{align*}
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\begin{tikzpicture}[scale=1]
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\begin{scope}[>=latex, xshift=0, yshift=1cm]
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\draw [->](0,0)--(1,0,0) node [right]{$\vec{F}_L$ \,\text{(Mittelfinger)}};
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\draw [->](0,0)--(0,-1,0) node [below]{$\vec{B}$ \,\text{(Zeigefinger)}};
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\draw [->](0,0)--(0,0,1.41) node [left]{$i=\frac{dq}{dt}$\,\text{(Daumen)}}; %\ \sim\ \vec{v}
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\end{scope}
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\end{tikzpicture}
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\end{align*}
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\clearpage
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}{}%
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