ET2_Uebung_BEI/ET2_L_B13_A5.tex

\section{Wechselstrommotor}
Ein Einphasen- Wechselstrommotor liegt an einer Spannung von $230\,\volt - 50\,\hertz$ und gibt eine Leistung von $2\,\kilo\watt$ ab, wobei sein Wirkungsgrad $\eta= 80\%$ und sein Leistungsfaktor $\cos\varphi=0,7$ beträgt.
\renewcommand{\labelenumi}{\alph{enumi})}
\begin{enumerate}
\item Wie groß ist die Stromaufnahme des Motors?
\item Welche Kapazität muss parallelgeschaltet werden, um eine Blindstromkompensation auf
$cos\varphi=0{,}9$ zu erreichen?
\item Wie groß ist der dem Netz bei $cos\varphi=0{,}9$ entnommene Strom?
\end{enumerate}
\ifthenelse{\equal{\toPrint}{Lösung}}{%
\begin{align}
\intertext{Formeln:}
S&=U\cdot I\qquad Scheinleistung\\
P_{el}&=S\cdot\cos(\varphi)\qquad Wirkleistung\\
P_{ab}&=\eta\cdot P_{el}\\
\cos\varphi&=\frac{P}{S}
\end{align}
\begin{align*}
\intertext{Berechnung:}
\intertext{a) Stromaufnahme:}
P_{el}&=\frac{P_{ab}}{\eta}=\frac{2\,\kilo\watt}{0{,}8}=2{,}5\,\kilo\watt\\
S&=\frac{P_{el}}{\cos(\varphi)}=\frac{2{,}5\,\kilo\watt}{0{,}7}=3{,}571\,\kilo\volt\ampere\\
I&=\frac{S}{U}=\frac{3{,}571\,\kilo\volt\ampere}{230\,\volt}=\uuline{15{,}5\,\ampere}
\end{align*}
\clearpage
b) Kapazität:
\begin{align*}
	\begin{tikzpicture}[scale=2]
		\begin{scope}[>=latex, xshift=0, yshift=0] 
		 	\draw [black!50!,very thin](0,0)grid(2,2);	
			\draw [->,red,very thick] (2.525,0)--(2.525,2.55)node [right]{$Q$};		 			
			\draw [->,thick](0:0)--(0:2.5)node [right]{$P$};
			\draw [->,thick] (0:0)--(90:2.55)node [above]{$Q$};
			\draw [->,very thick](0:0)--(25.8:2.778) node [above left] {$\underline{S}'$};
			\draw [->,very thick] (0,0)--(45.6:3.571) node [above left] {$\underline{S}$};	
			\draw [->,blue,ultra thick] (45.6:3.571)--(25.8:2.778)node [above right] {$Q_C$};
			\draw [->,black!50!green, very thick] (2.5,0)--(2.5,1.209)node [below right]{$Q'$};	
			\draw (0:1)arc(0:45.6:1)node [right]{$45{,}6\degree$};
			\draw (0:1.75)arc(0:25.8:1.75)node [below right]{$25{,}8\degree$};														
		\end{scope}
	\end{tikzpicture}
\end{align*}
\begin{align*}
\varphi&=\arccos(0{,}7)=45{,}6\degree\\
{\color{red}Q}&=S\cdot \sin(45{,}6\degree)=3{,}571\,\kilo\volt\ampere \cdot 0{,}714=2{,}55\,\kilo \var\\
\varphi'&=\arccos(0{,}9)=25{,}86\degree\\
S'&=\frac{P}{\cos \varphi'}=\frac{2{,}5\,\kilo\watt}{0{,}9}=2{,}778\,\kilo\volt\ampere\\
{\color{black!50!green}Q'}&=S'\cdot \sin \varphi '=2{,}778\,\kilo\volt\ampere \cdot 0{,}435=1{,}209\,\kilo \var\\
\intertext{für Kompensation muß gelten:}
Q+Q_C-Q'&=0 \\
\Rightarrow Q_C=Q'-Q&=1{,}209\,\kilo \var -2{,}55\,\kilo \var=-1{,}341\,\kilo \var\\
{\color{blue}|Q_C|}&=\frac{U^2}{|X_C|}\quad\Rightarrow |X_C|=\frac{U^2}{|Q_C|}=\frac{(230\,\volt)^2}{1341\,\var}=39{,}4\,\ohm=\frac{1}{\omega C}\Rightarrow\\
C&=\frac{1}{\omega |X_C|}=\frac{1}{2\pi\cdot 50\frac{1}{\,\second}\cdot 39{,}4\,\frac{\,\volt}{\ampere}}=8{,}06\cdot\power{10}{-5}\,\frac{\ampere\second}{\volt}=\uuline{80{,}6\,\micro\farad}\\
\intertext{c) Stromaufnahme bei $\cos\varphi=0{,}9$:}
S'&=U\cdot I'\Rightarrow I'=\frac{S'}{U}=\frac{2778\,\volt\ampere}{230\,\volt}=\uuline{12{,}1\,\ampere}
\end{align*}
Nicht auf $cos(\varphi)=1$ kompensieren, da dann Schwingkreis !
\clearpage
}{}%