ET2_Uebung_BEI/ET2_L_B15_A2.tex

\section{Übergang Zeitabhängige zu Komplexen Größen}
Bestimmen Sie den momentanen Strom $i_{L}(t)$ zum Zeitpunkt $t=T$\\[\baselineskip]
$u(t)=U_0+\widehat{U}_1\cdot cos(\omega t+\varphi)$\\[\baselineskip]
$U_0 = 2\,\volt \qquad \widehat{U}_1=3\,\volt  \qquad f=20\,\kilo\hertz  \qquad \varphi= 50\,\degree$\\[\baselineskip]
$C = 130\,\nano\farad  \qquad R = 60\,\ohm  \qquad L = 480\,\micro\henry  \qquad T= 26\,\micro\second$\\[\baselineskip]
\uline{Hinweise:} An dieser Aufgabe sollen Sie den Übergang von der realen, zeitabhängigen Größe
$u(t)$ in komplexe Größen $\uline{U}$, $\uline{I}$ und $\uline{I}_L$ und wieder zurück in die reale Größe $i_L(t)$ lernen. (Sehr grundsätzliche und wichtige Übung !)\\
\renewcommand{\labelenumi}{\alph{enumi})}
\begin{enumerate}
\item Wie wirkt sich der Gleichanteil der Spannung $U_0$ aus?
\item Übergang vom Zeitbereich in komplexen \glqq Bild\grqq -Bereich $u(t)\Rightarrow \uline{U}$
\item Berechnen Sie als Zwischenschritt den komplexen Strom $\uline{I}_L$!
\item Übergang von komplexen Bereich in Zeitbereich $\uline{I}_L\Rightarrow i_L(t)$
\item Achten Sie auf die Darstellung des Phasenwinkels $\omega t+\varphi$. (in Grad oder rad?!!)
\end{enumerate}
\ifthenelse{\equal{\toPrint}{Lösung}}{%
%\begin{align}
%\intertext{Formeln:}
%\text{...noch einfügen...}
%\end{align}
\begin{align*}
	\begin{tikzpicture}[scale=3]
		\begin{scope}[>=latex,very thick,xshift=0cm,yshift=0cm,rotate=90]%Spannungsquelle | 			
			\draw (0,0)--(1,0) node at (.5,-.133) [right] {$u(t)$};
			\draw (.5,0)circle(.133);	
			\draw [<-,blue] (.3,.2)--(.7,.2) node at (.5,.2)[left]{$u(t)$};			
		\end{scope}				
		\begin{scope}[>=latex,very thick,xshift=0cm,yshift=1cm]%Kondensator -		
			\draw (0,0)--(.475,0) (.475,-.125)--(.475,.125) (.525,-.125)--(.525,.125) (.525,0)--(1,0)node at (.5,.133) [above] {$C_1$};
		\end{scope}
		\begin{scope}[>=latex,very thick,xshift=1cm,yshift=0cm,rotate=90] 			
			\draw (0,0)--(.3,0) (.3,-0.0667)rectangle(.7,0.0667) (.7,0)--(1,0)node at (.5,-.0667) [right] {$R$};
			\draw [<-,blue] (.3,.2)--(.7,.2)node at(.5,.2)[left]{\footnotesize$u_{1}$}; 			
		\end{scope}		
		\begin{scope}[>=latex,very thick,xshift=2cm,yshift=0cm,rotate=90]%Spule | 			
			\draw (0,0)--(.3,0) (.7,0)--(1,0)node at(.5,-.0667) [right] {$L$};
			\fill (.3,-0.0667)rectangle(.7,0.0667);	
			\draw [<-,red] (.75,.0)--(.95,.0)node at(.85,.0)[left]{$i_L(t)$};
		\end{scope}	
		\begin{scope}[>=latex,very thick,xshift=0cm,yshift=0cm]%Fehlstellen Eckverbindungen. 
			\draw (0,.9)--(0,1)--(.2,1) (.8,1)--(2,1)--(2,.9) (0,.2)--(0,0)--(2,0)--(2,.2);
		\end{scope}							
	\end{tikzpicture}
\end{align*}
\begin{align*}
\intertext{Berechnung:}
&\text{a) $U_0$ spielt wegen $C$ keine Rolle - kein Gleichstrom!}\\
\intertext{Transformation in komplexen \glqq Bildbereich\grqq $u(t)\rightarrow\uline{U}$}
\uline{U}&=\frac{\widehat{U_1}}{\sqrt{2}}\cdot e^{j\varphi}=\frac{3\,\volt}{\sqrt{2}}\cdot e^{j50\,\degree}=2{,}12\,\volt\cdot e^{j50\,\degree}\\
\uline{Z}_C&=\frac{-1}{\omega C}=\frac{-j1}{2\pi\cdot 20\cdot \power{10}{3}\frac{1}{\,\second}\cdot 130\cdot \power{10}{-9}\,\frac{\ampere\second}{\volt}}=-j61{,}21\,\ohm\\
\uline{Z}_L&=j\omega L=j2\pi\cdot 20\cdot \power{10}{3}\frac{1}{\,\second}\cdot 480\cdot \power{10}{-6}\,\frac{\volt\second}{\ampere}=+j60{,}32\,\ohm\\
\uline{Y}_{||}&=\frac{1}{R}+\frac{1}{j\omega L}=(\frac{1}{60}+\frac{1}{j60{,}32})\,\siemens=(16{,}67-j16{,}58)\,\milli\siemens\\
\uline{Z}_{||}&=\frac{1}{Y}_{||}=(30{,}16+j30)\,\ohm\\
\uline{U}_1&=\uline{U}_L=\uline{U}\cdot\frac{\uline{Z}_{||}}{\uline{Z}_C+\uline{Z}_{||}}
=2{,}12\,\volt\cdot e^{j50\,\degree}\cdot \frac{(30{,}16+j30)\,\ohm}{-j61{,}21\,\ohm+(30{,}16+j30)\,\ohm}\\
&=2{,}12\,\volt\cdot e^{j50\,\degree}\cdot \frac{(30{,}16+j30)\,\ohm}{(30{,}16-j31{,}21)\,\ohm}\\
&=2{,}12\,\volt\cdot e^{j50\,\degree}\cdot (-0{,}0142+j0{,}98)=2{,}12\,\volt\cdot e^{j50\,\degree}\cdot 0{,}98\cdot e^{j90{,}83\,\degree}\\
&=2{,}078\,\volt\cdot e^{j140{,}83\,\degree}
\intertext{c) komplexer Strom}
\uline{I}_L&=\frac{\uline{U}_{||}}{\uline{Z}_L}=\frac{2{,}078\,\volt\cdot e^{j140{,}83\,\degree}}{60{,}32\,\ohm\cdot e^{j90\,\degree}}=\uuline{34{,}45\,\milli\ampere\cdot e^{j50{,}83\,\degree}}
\intertext{d) Übergang in den Zeitbereich}
i_L(t)&=\sqrt{2}\cdot |\uline{I}_L|\cdot \cos(\omega T+\varphi_{i_L})
=\sqrt{2}\cdot 34{,}45\,\milli\ampere\cdot  \cos(2\pi \cdot 20\cdot \power{10}{3}\frac{1}{\,\second}\cdot t+50{,}83\,\degree)\\
&=48{,}72\,\milli\ampere\cdot  \cos(4 \cdot \power{10}{4}\frac{1}{\,\second}+50{,}83\,\degree)
\intertext{e)}
&\text{mit } T=26\,\micro\second\\
i_L(T)&=48{,}72\,\milli\ampere\cdot  \cos(\underbrace{3{,}267}_{\rad}+50{,}83\,\degree)\qquad\text{Achtung! }\\
&=48{,}72\,\milli\ampere\cdot  \cos(3{,}267\cdot \frac{360\,\degree}{2\pi}+50{,}83\,\degree)\\
&=48{,}72\,\milli\ampere\cdot  \cos(187{,}2\,\degree+50{,}83\,\degree)=48{,}72\,\milli\ampere\cdot  \cos(238\,\degree)\\
i_L(T)&=48{,}72\,\milli\ampere\cdot \cos(238\,\degree)=48{,}72\,\milli\ampere\cdot (-0{,}529)=\uuline{-25{,}79\,\milli\ampere}\\
\end{align*}
\clearpage
}{}%