ET2_Uebung_BEI/ET2_L_B16_A6.tex

\section{Dualitätskonstante verlustbehaftete Bauelemente}
\begin{align*}
	\begin{tikzpicture}[scale=2]
			\begin{scope}[>=latex,very thick,xshift=1cm,yshift=.5cm]%Kondensator -		
			\draw (0,0)--(.475,0) (.475,-.125)--(.475,.125) (.525,-.125)--(.525,.125) (.525,0)--(1,0)node at (.5,.133) [above] {$C$};
		\end{scope}	
					\begin{scope}[>=latex,very thick,xshift=1cm,yshift=0cm]%Widerstand - nach EN 60617			
			\draw (0,0)--(.3,0) (.3,-0.0667)rectangle(.7,0.0667) (.7,0)--(1,0)node at (.5,.0667) [above] {$G$};
		\end{scope}			
		\begin{scope}[>=latex,very thick,xshift=.5cm,yshift=-.5cm]%Widerstand - nach EN 60617			
			\draw (0,0)--(.3,0) (.3,-0.0667)rectangle(.7,0.0667) (.7,0)--(1,0)node at (.5,.0667) [above] {$R$};
		\end{scope}
		\begin{scope}[>=latex,very thick,xshift=1.5cm,yshift=-.5cm]%Spule -			
			\draw (0,0)--(.3,0) (.7,0)--(1,0)node at (.5,.0667) [above] {$L$};
			\fill (.3,-0.0667)rectangle(.7,0.0667);
		\end{scope}
			\begin{scope}[>=latex,very thick,xshift=0cm,yshift=0cm]
				\draw (0,0)--(1,0) (1.1,.5)--(1,.5)--(1,0) (.6,-.5)--(.5,-.5)--(.5,0) (1.9,.5)--(2,.5)--(2,0)(2.4,-.5)--(2.5,-.5)--(2.5,0) (2,0)--(3,0);
				\fill(.5,0)circle(.03) (1,0)circle(.03)(2,0)circle(.03) (2.5,0)circle(.03);
				\fill(0,0)circle(.05)node[left]{$a$};
				\fill(3,0)circle(.05)node[right]{$b$};								
			\end{scope}						
	\end{tikzpicture}
	\end{align*}
$\hspace{3cm} R=20\,\ohm\quad L=1\,\milli\henry\quad C=100\,\nano\,\farad\quad G=2\,\milli\siemens$\\
\renewcommand{\labelenumi}{\alph{enumi})}
\begin{enumerate}
\item Geben Sie das duale Schaltbild für den Zweipol $a-b$ an und berechnen Sie dessen Elemente für $R^2_D=(100\,\ohm)^2$.
\item Welches verlustbehaftete Bauelement stellt die Reihenschaltung $R$ und $L$ dar?
\item Welches verlustbehaftete Bauelement stellt die Parallelschaltung $G$ und $C$ dar?
\item Interpretieren Sie das Ergebnis der Bauelementegrößen der beiden dualen Schaltungen in Bezug auf verlustbehaftete Bauelemente.
\end{enumerate}
\ifthenelse{\equal{\toPrint}{Lösung}}{%
\begin{align}
\intertext{Formeln:}
%\uline{Z}_1(\omega)&=R^2_D \cdot \uline{Y}_2(\omega)
R\cdot R_{dual}&=R^2_D \quad = \quad\text{Dualitätskonstante}\\
R^2_D&=\frac{L}{C}=\frac{L_{dual}}{C}=\frac{L}{C_{dual}}
\end{align}
Berechnung:\\[\baselineskip]
Duales Netzwerk:\\
Parallel $\Leftrightarrow$ Serie\\
Leitwert $\Leftrightarrow$ Widerstand\\
Kapazität $\Leftrightarrow$ Induktivität\\
\begin{align*}
	\begin{tikzpicture}[scale=2]
		\begin{scope}[>=latex,very thick,xshift=2cm,yshift=.25cm]%Widerstand - nach EN 60617			
			\draw (0,0)--(.3,0) (.3,-0.0667)rectangle(.7,0.0667) (.7,0)--(1,0)node at (.5,.0667) [above] {$G_R$};
\draw node at (.75,.35) [above] {\footnotesize{Verlustbehafteter Kondensator}};
		\end{scope}	
			\begin{scope}[>=latex,very thick,xshift=2cm,yshift=-.25cm]%Kondensator -		 
			\draw (0,0)--(.475,0) (.475,-.125)--(.475,.125) (.525,-.125)--(.525,.125) (.525,0)--(1,0)node at (.5,.133) [above] {$C_L$};
		\end{scope}	
		\begin{scope}[>=latex,very thick,xshift=0cm,yshift=0cm]%Widerstand - nach EN 60617			 
			\draw (0,0)--(.3,0) (.3,-0.0667)rectangle(.7,0.0667) (.7,0)--(1,0)node at (.5,.0667) [above] {$R_G$};
\draw node at (.75,-.5) [above] {\footnotesize{Verlustbehaftete Spule}};
		\end{scope}
		\begin{scope}[>=latex,very thick,xshift=1cm,yshift=0cm]%Spule -			
			\draw (0,0)--(.3,0) (.7,0)--(1,0)node at (.5,.0667) [above] {$L_C$};
			\fill (.3,-0.0667)rectangle(.7,0.0667);
		\end{scope}
			\begin{scope}[>=latex,very thick,xshift=0cm,yshift=0cm]
				\draw  (2.1,.25)--(2,.25)--(2,-.25)--(2.1,-.25) (2.9,.25)--(3,.25)--(3,-.25)--(2.9,-.25) (3,0)--(4,0);
				\fill(2,0)circle(.03)(3,0)circle(.03);
				\fill(0,0)circle(.05)node[left]{$a$};
				\fill(4,0)circle(.05)node[right]{$b$};								
			\end{scope}						
	\end{tikzpicture}
	\end{align*}
\begin{align*}
\intertext{a) Duale Bauelemente:}
R_G&=\frac{R^2_D}{R}=R^2_D\cdot G=(100\,\ohm)^2\cdot 2\,\milli\siemens=\uuline{20\,\ohm}\quad(=R\text{ !})\\
L_C&=C\cdot R^2_D=100\cdot \power{10}{-9}\frac{\,\ampere\second}{\volt}\cdot (100\frac{\,\volt}{\ampere})^2=\uuline{1\,\milli\henry}=\quad(=L\text{ !})\\
G_R&=\frac{R}{R^2_D}=\frac{20\,\ohm}{(100\,\ohm)^2}=\uuline{2\,\milli\siemens} \quad(=G\text{ !)}\\
C_L&=\frac{L}{R^2_D}=\frac{1\,\milli\henry}{(100\,\ohm)^2}=\uuline{100\,\nano\farad} \quad(=C\text{ !)}\\
\intertext{b) Verlustbehaftete Spule.}
\intertext{c) Verlustbehafteter Kondensator.}
\intertext{d) Die duale Schaltung ist die Reihenschaltung der gleichen verlustbehafteten Bauteile Spule und Kondensator.}
\end{align*}
\clearpage
}{}%