ET2_Uebung_BEI/ET2_L_B19_A2.tex

\section {RLC-Reihenschwingkreis}
Von einem RLC-Reihenschwingkreis ist die Abhängigkeit $I(f)$ gegeben, siehe Kennlinie. Der Schwingkreis wird von einer konstanten sinusförmigen Spannung gespeist mit \\
$U=100\,\volt$.\\
Bestimmen Sie die Bauelemente $R$, $L$, und $C$!\\
Sie dürfen auch mit der Näherung Güte $\gg 1$ rechnen.
\begin{align*}
\tikzstyle{every pin}=[fill=white,draw=black,font=\footnotesize]
\tikzstyle{every axis legend}+=[at={(0.935,0.1)},anchor=south east,inner sep=0pt]%
    \begin{tikzpicture}[scale=1]
        \begin{axis}[xlabel=$f (Hz)$,ylabel=$I (A)$,title={Kennlinie },grid=major,xminorgrids=false,yminorgrids=false,xmin=300,xmax=600,ymin=0,ymax=10]
\addplot[color=red,smooth,thick]
plot coordinates {
(300,1.15)
(350,1.85)
(400,3.63)
(432.2,7.07)
%(445,9.26)
%(450,9.84)
(452,9.96)
(454,10)
(456,9.96)
(477.15,7.07)
(500,4.57)
(550,2.49)
(600,1.73)
};
\addplot[color=blue]
plot coordinates {
(432.2,7.07)
(477.15,7.07)
};
\axispath\node[coordinate,pin=below right:f res]
at (axis cs:454,10) {};
\axispath\node[coordinate,pin=left:7.07A]
at (axis cs:430,7.07) {};
\axispath\node[coordinate,pin=below:B]
at (axis cs:454,7.07) {};
        \end{axis}
	\end{tikzpicture}
\end{align*}
\ifthenelse{\equal{\toPrint}{Lösung}}{%
%\begin{align}
%\intertext{Formeln:}
%\end{align}
Berechnung:
\begin{align*}
	\begin{tikzpicture}[scale=2]
		\begin{scope}[>=latex,very thick,xshift=0cm,yshift=0cm]%Widerstand
            \draw (0,0)--(.3,0) (.3,-0.0667)rectangle(.7,0.0667) (.7,0)--(1,0)node at (.5,.0667) [above] {$R$};
		\end{scope}
		\begin{scope}[>=latex,very thick,xshift=1cm,yshift=0cm]%Spule -			
			\draw (0,0)--(.3,0) (.7,0)--(1,0)node at (.5,.0667) [above] {$L$};
			\fill (.3,-0.0667)rectangle(.7,0.0667);
		\end{scope}
		\begin{scope}[>=latex,very thick,xshift=2cm,yshift=0cm]%Kondensator -		
			\draw (0,0)--(.475,0) (.475,-.125)--(.475,.125) (.525,-.125)--(.525,.125) (.525,0)--(1,0)node at (.5,.133) [above] {$C$};
		\end{scope}	
		\begin{scope}[>=latex,very thick,xshift=0cm,yshift=0cm]%Fehlstellen Eckverbindungen.
            \fill (0,0)circle(0.025cm)(3,0)circle(0.025cm);
		\end{scope}	
	\end{tikzpicture}
\end{align*}
\begin{align*}
\text{Ablesen: } I_{max}&=10\,\ampere\qquad f_{res}=454\,\hertz\\
R&=\frac{U}{I_{res}}=\frac{100\,\volt}{10\,\ampere}=\uuline{10\,\ohm}\qquad\text{Bei Resonanz: Nur Spannung über R, da $\Im=0$}\\
I&=\frac{I_{max}}{\sqrt{2}}=\frac{10\,\ampere}{\sqrt{2}}=7{,}07\,\ampere\Rightarrow\Delta f=B\approx 45\,\hertz\qquad\text{Bandbreite-Grenzfrequenzen}\\
\end{align*}
\clearpage
\begin{align*}
&C \text{ und } L \text{ bestimmen}\\
f_{res}&=\frac{1}{2\pi\sqrt{L\cdot C}}=454\,\hertz\tag{1}\\
\text{Näherung }B&\approx \frac{f_{res}}{Q_S}\Rightarrow Q_S\approx \frac{f_{res}}{B}=\frac{454\,\hertz}{45\,\hertz}=10{,}1\\
Q_S&=\frac{1}{R}\cdot \sqrt{\frac{L}{C}}=10{,}1\qquad\text{Gleichung für L und C}\tag{2}\\
\sqrt{L}&=\underbrace{\frac{1}{2\pi \cdot f_{res}\cdot \sqrt{C}}}_{\text{aus (1)}}
=\underbrace{Q_S\cdot \sqrt{C}\cdot R}_{\text{aus (2)}}\\
C&=\frac{1}{2\pi \cdot f_{res}\cdot Q_S\cdot R}=\frac{1}{2\pi \cdot 454\,\hertz\cdot 10{,}1\cdot 10\,\ohm}=3{,}47\cdot \power{10}{-6}\,\frac{\ampere\second}{\volt}=\uuline{3{,}47\,\micro\farad}\\
L&=(\sqrt{L})^2=Q^2_S\cdot C\cdot R^2=10{,}1^2\cdot 3{,}47\,\micro\frac{\ampere\second}{\volt}\cdot (10\,\ohm)^2=\uuline{35{,}4\,\milli\henry}
\intertext{Alternative: 2. Punkt auf der Kurve z.B. $4\,\ampere$ bei $405\,\hertz$ ergibt 2 Gleichungen.}
\omega&=2\pi\cdot f\qquad\Rightarrow\omega=\omega_{405}=2545;\qquad\omega_{res}=2853\\
Z_{405}&=\sqrt{R^2+(\omega L-\frac{1}{\omega C})^2}=\frac{U}{I_{405}}=\frac{100\,\volt}{4\,\ampere}=25\,\ohm\\
&\Rightarrow \,(\omega L-\frac{1}{\omega C})^2=Z^2-R^2\\
&\omega L-\frac{1}{\omega C}=\pm \sqrt{Z^2-R^2}\\
&\Rightarrow L=\frac{1}{\omega}\cdot \Big(\pm \sqrt{Z^2-R^2}+\frac{1}{\omega C}\Big)\\
L&=\frac{1}{\omega^2_{res}\cdot C}=\Big(\pm \frac{\sqrt{Z^2-R^2}}{\omega}+\frac{1}{\omega^2 C}\Big)\quad\text{(Formelsammlung: $\omega_{res}=\frac{1}{\sqrt{LC}}$)}\\
&\Big(\frac{1}{\omega^2_{res}}-\frac{1}{\omega^2}\Big)\cdot \frac{1}{C}
=\pm\frac{\sqrt{Z^2-R^2}}{\omega}\quad\text{(nach C auflösen)}\\
\end{align*}
\begin{align*}
C&=\frac{\Big(\frac{1}{\omega^2_{res}}
-\frac{1}{\omega^2}\Big)\cdot \omega}{\pm \sqrt{Z^2-R^2}}
=\frac
{\bigg(
\overbrace{
\frac{1}{\Large(2835\cdot \frac{1}{\second}\Large)^2}
-\frac{1}{\Large(2545\cdot \frac{1}{\second}\Large)^2}
}^{31{,}54\cdot \power{10}{-9}}
\bigg)
\cdot 2545\cdot \frac{1}{\second}}
{\pm\sqrt{(25\,\ohm)^2-(10\,\ohm)^2}}
=\frac{-80{,}3\cdot \power{10}{6}}{\underbrace{\pm}_{- gilt} \sqrt{525}}=\uuline{3{,}5\,\micro\farad}\\
L&=\frac{1}{\omega^2_{res}\cdot C}=\frac{1}{(2835\,\frac{1}{\second})^2\cdot 3{,}5\,\micro\farad}=\frac{1}{28{,}07\,\frac{\ampere}{\volt\second}}=\uuline{35{,}6\milli\henry}
\end{align*}
Rundungsfehler durch Ablesung und Näherung
\clearpage
}{}%