ET2_Uebung_BEI/ET2_L_B19_A4.tex

\section {Klirrfaktor}
Am Eingang liegt die Spannung\\
$u_e(t)=2\,\volt+3\,\volt\cdot \sin(2\pi\cdot 50\,\power{\second}{-1}\cdot t) + 4\,\volt\cdot \sin(2\pi\cdot 100\,\power{\second}{-1}\cdot t)$
\begin{align*}
	\begin{tikzpicture}[very thick,scale=2]
		\begin{scope}[>=latex,xshift=0cm,yshift=1cm]%Spule -			
			\draw (0,0)--(.3,0) (.7,0)--(1,0)node at (.5,.0667) [above] {$L$};
			\fill (.3,-0.0667)rectangle(.7,0.0667);
%			\draw [->,blue] (.3,-.2)--(.7,-.2)node at(.5,-.2)[below]{\footnotesize$U_{L}$};		
		\end{scope}
		\begin{scope}[>=latex,very thick,xshift=1cm,yshift=0cm,rotate=90]%Kondensator |
 		     \draw (0,0)--(.475,0) (.475,-.125)--(.475,.125) (.525,-.125)--(.525,.125) (.525,0)--(1,0)node at (.5,-.133) [right] {$C$};
%			\draw [<-,blue] (.3,.2)--(.7,.2) node at (.5,.2)[left]{\footnotesize$U_{C1}$};
		\end{scope}	
            \draw(0,0)--(1.5,0)(1,1)--(1.5,1);
            \fill(0,0)circle(.05cm)(0,1)circle(.05cm)(1.5,0)circle(.05cm)(1.5,1)circle(.05cm);
            \draw[->,blue](0,.9)--(0,.1)node at(0,.5)[left]{$u_e$};
            \draw[->,blue](1.5,.9)--(1.5,.1)node at(1.5,.5)[right]{$u_a$};
            \draw[->,red](1.5,1.1)--(1.3,1.1)node at(1.2,1.1)[above]{$i_a=0$};
    \end{tikzpicture}
\end{align*}
\renewcommand{\labelenumi}{\alph{enumi})}
\begin{enumerate}
\item Berechnen Sie den Klirrfaktor $k_a$ der Ausgangsspannung $u_a$
\item Berechnen Sie den Effektivwert  $U_a$
\end{enumerate}
$L=100\,\milli\henry$, $C=250\,\micro\farad$
\ifthenelse{\equal{\toPrint}{Lösung}}{%
\begin{align}
\intertext{Formeln:}
k&=\frac{\sqrt{\sum \limits_{n=2}^{\infty}A^2_n}}{\sqrt{\sum \limits_{n=1}^{\infty}A^2_n}}=\frac{\text{Effektivwert der Oberschwingungen}}{\text{Effektivwert des Gesamtsignals}}\\
k&=\sqrt{\frac{A^2_2+A^2_3+\cdots+A^2_n}{A^2_1+A^2_2+\cdots+A^2_n}}\\
A_0&\quad\text{Gleichanteil}\notag\\
A_1&\quad\text{Grundschwingung}\notag\\
A_2\cdots A_n&\quad\text{Oberwellen}\notag
\end{align}
\clearpage
Berechnung:
\begin{align*}
\intertext{a) Klirrfaktor am Ausgang\ $k_a$}
U_{a0}&=U_{e0}=2\,\volt\qquad\text{Gleichanteil ist ohne Einfluß auf den Klirrfaktor}\\[\baselineskip]
\frac{\uline{U}_a}{\uline{U}_e}&=\frac{jX_C}{jX_L+jX_C}=\frac{X_C}{X_L+X_C}\qquad\text{Wechselspannung}\\[\baselineskip]
\text{Für }&50\,\hertz\text{ Grundwelle}\\
X_{C1}&=-\frac{1}{2\pi f\cdot C}=\frac{-1}{2\pi\cdot 50\,\cancel{\frac{1}{\second}}\cdot 250\cdot \power{10}{-6}\,\frac{\ampere\cancel{\second}}{\volt}}=-12{,}73\,\ohm\\
X_{L1}&=2\pi f\cdot L=2\pi\cdot 50\,\cancel{\frac{1}{\second}}\cdot 0{,}1\cdot \,\frac{\volt\cancel{\second}}{\ampere}=31{,}42\,\ohm\\
U_{a1}&=\frac{-12{,}73\,\ohm}{31{,}42\,\ohm-12{,}73\,\ohm}\cdot U_{e1}=-0{,}6811\cdot U_{e1}\\
U_{a1}&=|-0{,}6811\cdot U_{e1}|=0{,}6811\cdot \frac{3\,\volt}{\sqrt{2}}=1{,}445\,\volt\quad \text{Effektivwert}\\
U^2_{a1}&=2{,}088\,\volt^2\\[\baselineskip]
\text{Für }&100\,\hertz\text{ 1. Oberwelle}\\
X_{C2}&=\frac{1}{2}\cdot X_{C1}=-6{,}365\,\ohm\\
X_{L2}&=2X_{L1}=62{,}84\,\ohm\\
U_{a2}&=\left|\frac{-6{,}365\,\ohm}{62{,}84\,\ohm-6{,}365\,\ohm}\right|\cdot \frac{4\,\volt}{\sqrt{2}}=0{,}1127\cdot \frac{4\,\volt}{\sqrt{2}}=0{,}3188\,\volt\quad \text{Effektivwert}\\
U^2_{a2}&=0{,}1016\,\volt^2\\[\baselineskip]
k_a&=\sqrt{\frac{U^2_{a2}}{U^2_{a1}+U^2_{a2}}}=\sqrt{\frac{0{,}1016\,\volt^2}{2{,}088\,\volt^2+0{,}1016\,\volt^2}}
=\uuline{0{,}215}=\uuline{21{,}5\%}
\intertext{b) Effektivwert $U_a$}
U_a&=\sqrt{U^2_{a0}+U^2_{a1}+U^2_{a2}}=\sqrt{(2\,\volt)^2+2{,}088\,\volt^2+0{,}1016\,\volt^2}=\uuline{2{,}49\,\volt}
\end{align*}
\clearpage
}{}%