FEM Teil hinzugefügt

ENT4_FS.tex

@@ -416,12 +416,221 @@ hypertexnames=false                   % Zur korrekten Erstellung der Bookmarks
     	\vec{U}_1^k = R_1 \cdot \vec{I}_1^k+\frac{d\vec{\psi}_1^k}{dt}+j\omega_k \cdot \vec{\psi}_1^k
     \end{equation}
     
+    Ständerspannungsgleichung in Raumzeigerdarstellung
+    \begin{equation}
+    	\vec{U}_1^S = R_1\cdot \vec{I}_1^S + \frac{d\vec{\psi}_1^S}{dt} = R_1\cdot \vec{I}_1^S + i_1\cdot \frac{d\vec{I}_1^S}{dt} + M\cdot \frac{d\vec{I}_2^S}{dt}
+    \end{equation}
+    
     Läuferspannungsgleichung
    \begin{equation}
    		 \vec{U}_2^k = R_2 \cdot \vec{I}_2^k+\frac{d\vec{\psi}_2^k}{dt}+j(\omega_k -\omega_L)\cdot \vec{\psi}_2^k
     \end{equation}
-    ..... nachher geht es weiter
     
+    Läuferspannungsgleichung in Raumzeigerdarstellung
+     \begin{equation}
+    	\vec{U}_2^L = R_2\cdot \vec{I}_2^L + \frac{d\vec{\psi}_2^L}{dt} = 0
+    \end{equation}
+    
+    Läuferspannungsgleichung im Ständerkoordinatensystem
+    \begin{equation}
+    	\vec{U}_2^S = R_2\cdot \frac{\vec{I}_\mu^S - \vec{I}_1^S}{1+\sigma_2} - j\omega_L\cdot M\cdot  \vec{I}_\mu^S+M\frac{d\vec{I}_\mu^S}{dt}
+    \end{equation}
+    
+    ??? 
+    \begin{equation}
+    	\vec{I}_1^k = I_\mu(1-j(\omega_L-\omega_K)\cdot T_2)+T_2\cdot \frac{dI_\mu}{dt}
+    \end{equation}
+    
+    mit T\textsubscript{2}
+    \begin{equation}
+    	T_2 = \frac{M\cdot (1+\sigma_2)}{R_2} = \frac{L_2}{R_2}
+    \end{equation}
+    
+    Längskomponente (flussbildend): Feldbildung folgt mit Zeitkonstante T\textsubscript{2}
+    \begin{equation}
+    	Re(\vec{I}_1^k) = I_{1d} = I_\mu + T_2 \frac{dI_\mu}{dt}
+    \end{equation}
+    
+    Querkomponente (drehmomentbildend): Feldbildung folgt unverzögert
+    \begin{equation}
+    	Im(\vec{I}_1^k) = I_{1q} = (\omega_K - \omega_L)\cdot T_2\cdot I_\mu
+    \end{equation}
+    
+    Drehmoment\\
+    ToDo: Herausfinden welche Formeln relevant sind
+    
+    \colorbox{yellow!60}{Numerische Feldberechnung}\\
+    
+    Magnetische Feldstärke = Magnetische Erregung 
+    \begin{equation}
+    	H = \frac{I}{l} [\frac{A}{m}]
+    \end{equation}
+    
+    Maxwellsche Gleichungen in differentieller Form\\
+    Durchflutungsgesetz 
+    \begin{equation}
+    	rot \vec{H} = \vec{S}
+    \end{equation}
+    
+    Induktionsgesetz
+    \begin{equation}
+    	rot \vec{E} = - \frac{\partial\vec{B}}{\partial t}
+    \end{equation}
+    
+    Materialgesetz
+    \begin{equation}
+    	\vec{B} = \vec{J} + \mu_0 \cdot \vec{H}
+    \end{equation}
+    
+    Strömungsfeld für elektrische Leiter
+    \begin{equation}
+    	\vec{S} = k \cdot \vec{E}
+    \end{equation}
+    
+    Quellenfreiheit
+    \begin{equation}
+    	div \vec{B} = 0
+    \end{equation}
+    
+    Grundprinzip FEM
+    \begin{itemize}
+    	\item Diskretisierung der Feldgebiete (mit Dreiecken 2D oder Tetraeder 3D)
+    	\item iterative Lösung
+    	\item magnetische Feldberechnung: magnetische Feldenergie unterschreitet vorgegeben Grenzwert
+    \end{itemize}
+
+	Da die Rotation für alle wirbelfreien Felder = 0 ist gilt:\\
+	magnetische Flussdichte 
+	\begin{equation}
+		\vec{B} = rot\vec{A}
+	\end{equation}
+	
+	kartesische Koordinaten
+	\begin{equation}
+		rot \vec{A} = \frac{\partial \vec{A}}{\partial y}\cdot \vec{i} - \frac{\partial \vec{A}}{\partial x}\cdot \vec{j}
+	\end{equation}
+	
+	Zylinderkoordinaten
+	\begin{equation}
+		rot \vec{A} = \frac{1}{r}\frac{\partial \vec{A}}{\partial y}\cdot \vec{e}_r - \frac{\partial \vec{A}}{\partial r}\cdot \vec{e}_\varphi
+	\end{equation}
+	
+	Magnetische Vektorpotential/ magnetische Feldstärke\\
+	kartesische Koordinaten
+	\begin{equation}
+		\vec{H} = -grad_{\varphi m} = -(\frac{\partial_{\varphi m}}{\partial x}\cdot \vec{i} + \frac{\partial_ {\varphi m}}{\partial y} \cdot \vec{j})
+	\end{equation}
+	
+	Zylinderkoordinaten
+	\begin{equation}
+		\vec{H} = -grad_{\varphi m} = -(\frac{\partial_{\varphi m}}{\partial r}\cdot \vec{e}_r + \frac{1}{r}\frac{\partial_ {\varphi m}}{\partial \varphi} \cdot \vec{e}_\varphi)
+	\end{equation}
+	
+	Magnetische Energiedichte je Längeneinheit
+	\begin{equation}
+	\frac{dW_{mag}}{l} = \frac{1}{2} \mu H^2 dA
+	\end{equation}
+	
+	Betrag der magnetischen Feldstärke 
+	\begin{equation}
+		H^2 = (\frac{\partial_{\varphi m}}{\partial x})^2 + (\frac{\partial_{\varphi m}}{\partial y})
+	\end{equation}
+	
+	partielle Ableitungen des Skalarprodukts
+	\begin{equation}
+		\frac{\partial_{\varphi m}}{\partial x} = \frac{1}{2A}[(y_2-y_3)\varphi_{m1}+(y_3-y_1)\varphi_{m2}+(y_1-y_2)\varphi_{m3}]
+	\end{equation}
+	\begin{equation}
+		\frac{\partial_{\varphi m}}{\partial y} = \frac{1}{2A}[(x_3-x_2)\varphi_{m1}+(x_1-x_3)\varphi_{m2}+(x_2-x_1)\varphi_{m3}]
+	\end{equation}
+	
+	Minimum magnetische Feldenergie
+	\begin{equation}
+		\frac{\partial W_{mag}/l}{\partial \varphi_m} = 0
+	\end{equation}
+   
+   Mathematisches Konzept der FEM
+   "starke Formulierung"
+   \begin{equation}
+   		Res = rot \vec{H} - \vec{S} = \frac{1}{\mu} rot rot \vec{A}-\vec{S}
+   \end{equation}
+   
+   "schwache Formulierung " ????\\
+   
+   Flussdichte 
+   \begin{equation}
+   	B = J + \mu_0 H = \mu_0 \mu_r H
+   \end{equation}
+   
+   aus den gemessenen Kennliniepunkten Geradengleichung
+   \begin{equation}
+   	\frac{1}{\mu_r -1} = a^* + b^* \cdot H
+   \end{equation}
+   
+   Permeabilität
+   \begin{equation}
+   	\mu_r = f(H) =1+ \frac{1}{a^*+b^*\cdot H}
+   \end{equation}
+   
+   induzierte Spannung
+   \begin{equation}
+   	|u_{ind}|= w \cdot \frac{d\phi}{dt} = \omega \cdot w \cdot \phi
+   \end{equation}
+   
+   magnetische Spannung
+   \begin{equation}
+   	 V_m = H_\delta \cdot \delta
+   \end{equation}
+   
+   Strombelag
+   \begin{equation}
+   	A = 
+   \end{equation}
+   
+   Grundwelle
+   \begin{equation}
+   	B_1(\theta) = \mu_0 \frac{2\omega}{\pi\delta}\cdot cos(\theta)\cdot i(t)
+   \end{equation}
+   
+   Zonungsfaktor
+   \begin{equation}
+   	\xi_{Z,1} = \frac{|\vec{U}_{res}|}{|\vec{U}_1|+|\vec{U}_2|+|\vec{U}_3|}
+   \end{equation}
+   
+   Sehnungsfaktor
+   \begin{equation}
+   	\xi_{S,1} = sin(\frac{\tau_\omega}{\tau_p})
+   \end{equation}
+   
+   Wicklungsfaktor
+   \begin{equation}
+   	\xi_1 = \xi_{Z,1} \cdot \xi_{S,1}
+   \end{equation}
+   
+   Wirksame Windungszahl
+   \begin{equation}
+   	w_1 = N \cdot \xi_1
+   \end{equation}
+   
+   Grundstrombelag
+   \begin{equation}
+   	a_p(x,t) = A_p \cdot cos(px-\omega_1 t -\varphi_1)
+   \end{equation}
+   
+   Amplitude der Grundwelle
+   \begin{equation}
+   	A_p = \frac{3}{\pi}\cdot A = \frac{3\cdot N_1 \xi_p \cdot }{\pi \cdot R}
+   \end{equation}
+   
+   Magnetische Spanung über dem Luftspalt
+   \begin{equation}
+   	V(x,t) = \frac{1}{p} \cdot A_p \cdot R \cdot sin(px-\omega_1 t - \varphi_1)
+   \end{equation}
+   
+   Amplitude B-Feld Grundwelle
+   \begin{equation}
+   	B_p = \frac{\mu_0}{\delta^{''}} \frac{3\cdot N_1 \xi_p}{p\cdot \pi} \cdot \sqrt{2} \cdot I_\mu
+   \end{equation}
 \end{multicols*}
 
 \begin{multicols*}{2}