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pdfauthor={Annette Schmidt},
pdfcreator={Annette Schmidt},
pdfsubject={Formelsammlung ENT4 Energiewandlung in mechatronischen Systemen},
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% Building blocks
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% centering stuff
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% for partial derivative at a point
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%for yellow highlights in equations
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% Content 
\begin{document}
\footnotesize
\begin{multicols*}{3}
    \heading{Asynchronmaschine}
    \begin{tabularx}{\columnwidth}{p{2cm} X}
        \textbf{Formelzeichen}		& \textbf{Beschreibung} \\
        \hline
        $X_{h}$		    & Hauptreaktanz [?]\\
        $X_{k}$	        & Streureaktanz [?]\\
        $R_2'~^{1)}$     & Läuferwiderstand [$\Omega$]\\
        $P_{\delta}$    & Luftspaltleistung $ = P_{el}$ [W]\\
        $P_{Cu2}$       & Stromwärmeverluste/ohmsche Läuferverluste [W]\\
        $P_{mech}$      & mechanische Leistung [W]\\
        $f_1~^{2)}$          & Ständerfrequenz [Hz]\\
        $f_2$           & Läuferfrequenz [Hz]\\
        $\omega_{1/2}$  & Sänder-/Läuferkreisfrequenz [$\frac{1}{s}$]\\
        $n_1$             & Läuferdrehzahl (synchron) [$\frac{1}{min}$]\\
        $n = n_N$             & Ständerdrehzahl (asyncrhon) [$\frac{1}{min}$]\\
        $s$             & Schlupf [\%]\\
        $p$             & Polpaarzahl\\
        $\underline{I}_\mu$ & ?\\
        $\underline{I}_1$ & ?\\
        $\underline{I}_2$ & ?\\
        $M_A$ & ?\\
        $U_A$ & ?\\
        $I_A$ & ?\\
        $\phi_N$ & ? \\
    \end{tabularx}
    $~^{1)}$ ' heißt die Läufergröße ist auf Ständer umgerechnet\\
    $~^{2)}$ Index 1 immer Ständergröße, Index 2 immer Läufergröße\\
    $~^{3)}$ $~^*$ heißt reduziert\\
    \subheading{Am Netz}
    Voraussetzung für ein zeitlich konstantes Drehmoment ist ein mit konstanter Winkelgeschwindgkeit im Luftspalt umlaufendes, räumlich möglichst sinusförmig verteiltes magnetisches Feld. \\	
    \colorbox{yellow!60}{Grundfeld einer Drehstromwicklung:}
    \begin{equation}\tag{3.2.1}
        b_p(x,t) = B_p \cdot cos(px -\omega_1t)
    \end{equation}
    Zusammenhang Ständer- und Läuferkoordinaten:\\
    \includegraphics[width= 0.2\columnwidth]{ZusammenhangSaenderLaeufer.jpg}
    \begin{equation}\tag{3.3.1}
        x_1 = 2\pi nt+x_2
    \end{equation}
    \colorbox{yellow!60}{Frequenz:}
    \begin{equation}\tag{3.3.2}
        f_2 = f_1 \cdot (1-n\cdot p/f_1) = f_1 - pn
    \end{equation}
    Bei stillstehendem Läufer (n = 0) sind Sänder- und Läuferfrequenz gleich ($f_2 = f_1$). Wenn sich der Läufer mit der \colorbox{yellow!60}{synchronen Drehzahl}
    \begin{equation}\tag{3.2.3}
        n = n_1 = f_1/p = 1-\frac{p\cdot n}{f_1}
    \end{equation}
    dreht, so ist die Läuferfrequenz Null. 
    \begin{equation}\tag{3.3.3}
        f_2 = s\cdot f_1
    \end{equation}
    \colorbox{yellow!60}{Schlupf:}\\
    Bei Leerlauf ist s = 0, im Stillstand s = 1.
    \begin{equation}\tag{3.3.4}
        s = 1-\frac{p\cdot n}{f_1} = 1-\frac{n}{n_1} = \frac{n_1-n}{n_1}
    \end{equation}
    Prozentuale/relative Abweichung der Läuferdrehzahl von der \colorbox{yellow!60}{synchronen Drehzahl $n_1$} (bei Synchronmaschinen ist s = 0, bei ASM möglichst klein)\\
    \subsubheading{Ersatzschaltbild}
    Strangsröme werden im ESB mit ' gekennzeichnet (sie unterscheiden sich nur duch die Phasenlagen)\\
    \includegraphics[width= 0.5\columnwidth]{ErsatzschaltbildAsynchr.jpg}
    \begin{equation}\tag{3.3.6}
        \underline{I}_\mu = \underline{I}_1 + \underline{I}_2 
    \end{equation}
    \textcolor{magenta}{Kanns sein, dass in der Formel die ' nicht passen?}\\
    im Läufer \colorbox{yellow!60}{umgesetzte Leistung:} (Läuferverlustleistung)
    \begin{equation}\tag{3.3.7}
        P_\delta = 3\cdot I_2' \cdot \frac{R_2'}{s} = s \cdot P_\delta + (1-s)\cdot P_\delta = P_{Cu2} + P_{mech}
    \end{equation}
    'Gesetz über die Spaltung der Luftspaltleitung':\\
    \colorbox{yellow!60}{Stromwärmeverluste} in der Läuferwicklung: 
    \begin{equation}\tag{3.3.9}
        P_{Cu2} = 3\cdot I_2' \cdot R_2' = s\cdot P_\delta
    \end{equation}
    \colorbox{yellow!60}{mechanische Leistung:}
    \begin{equation}\tag{3.3.10}
        P_{mech} = P_\delta - P_{Cu2} = P_\delta \cdot (1-s)
    \end{equation}
    \colorbox{yellow!60}{Drehmoment:}
    \begin{equation}\tag{3.3.11}
        M = \frac{P_{mech}}{2\pi n} = \frac{P_\delta (1-s)}{2\pi n_1 (1-s)} = \frac{P_\delta}{2\pi n_1}
    \end{equation}
    \colorbox{yellow!60}{Wirkungsgrad:}
    \begin{equation}
        \eta = \frac{P_{Welle}}{P_{el}}
    \end{equation}

    \subsubheading{Stromortskurve}
    \colorbox{yellow!60}{Leitwertstromortskurve(?????)}
    \begin{equation}
        s = 0:~~~~~~~~\underline{Y}_0 = \frac{-j}{X_R}
    \end{equation}
    \begin{equation}
        s = \infty:~~~~~~~~\underline{Y}_\infty = \frac{-j}{X_R} - \frac{j}{X_K}
    \end{equation}
    \colorbox{yellow!60}{Kreismittelpunkt:}
    \begin{equation}
        \underline{Y} = \frac{-j}{X_R}- \frac{j}{2X_K}
    \end{equation}
    \colorbox{yellow!60}{Kreisradius:}
    \begin{equation}
        r = \frac{1}{2X_K}
    \end{equation}
    Leerlaufstrom/Magnestisierungsstrom: $I_0 = I_\mu$ (0|0)-$P_0$\\
    Ständerstrom $I_1$ (0|0) - P\\
    Läuferstrom $I_2'$ P - $P_0$\\
    \begin{equation}
        \textcolor{orange}{\overline{P_k C}} \sim (3)^* R_2' I_{2k}' (= 2\pi n_1 M_A)
    \end{equation}
    $~^* $Faktor 3 nur bei Sternschaltung
    \begin{equation}
        \textcolor{orange}{\overline{P_0 B}} \sim I_{2}'^2
    \end{equation}
    \begin{equation}
        \textcolor{red}{\overline{P_0 C}} \sim I_{2k}'^2
    \end{equation}
    Läuferstromwärmeverluste:
    \begin{equation}
        \textcolor{red}{\overline{A B}} = \frac{\overline{P_0 B}}{\overline{P_0 C}}\cdot \overline{P_k C} \sim \frac{I_{2}'^2}{I_{2k}'^2} (3)^* R_2' I_{2k}' = P_{Cu2}
    \end{equation}
    Luftspaltleistung/elektrisch aufgenommene Leistung: 
    \begin{equation}
        \textcolor{blue}{\overline{P B}} \sim P_{el} = P_\delta
    \end{equation}
    mechanische Leistung: 
    \begin{equation}
        \textcolor{blue}{\overline{P A}} \sim P_{mech} = P_\delta - P_{Cu2}
    \end{equation}
    \colorbox{yellow!60}{Y-Schaltung:} $P_{Cu2} = 3 R_2' I_2'^2$\\
    \colorbox{yellow!60}{$\Delta$-Schaltung:} $P_{Cu2} = R_2' I_{2L}'^2$\\
    \colorbox{SpringGreen!40}{Parameterbeiche:}\\
    \colorbox{yellow!60}{motorischer Beiche:} $s \leq s \leq 1$\\
    $s = 0$: Synchronismus, Leerlauf\\
    $s = 1$: Stillstand, Kurzschluss\\
    \colorbox{yellow!60}{generatorischer Bereich:} $s < 0$\\
    Luftspaltleistung wird negativ, Asynchronmaschine geht ohne Schaltungsänderung in Generatorbetrieb\\
    \colorbox{yellow!60}{Gegenstrombremsbereich:} $s > 1$\\
    Drezahl n wird negativ ($n = n_1(1-s)$)\\
    \begin{itemize}
        \item Läufer dreht entgegen der Umlaufrichtung des Luftspaltfeldes.
        \item In diesem Bereich nimmt die ASM mechanische Leistung über die Welle und elektrische Leistung aus dem Netz auf. 
        \item Gesamte aufgenommene Leistung wird in Stromwärme umgesetzt.
    \end{itemize}
    \begin{equation}
        M_A = (\frac{U_A}{U_A^*})^2 \cdot M_A^*
    \end{equation}
    \begin{equation}
        I_A = \frac{U_N}{U_N^*} \cdot I_A^*
    \end{equation}


    \colorbox{SpringGreen!40}{Maßstäbe:}\\
    Strom: $m_I$ gewählt (Leiterstrom) Einheit: A/cm\\
    Leistung: $m_P = \sqrt{3} U_N m_I$ Einheit: W/cm\\
    Drehmoment: $m_M = m_P/(2\pi n_1)$ Einheit: Nm/cm\\
    \includegraphics[width= 1.75\columnwidth, angle = 90]{SOK_TEG_FS.pdf}
    \subheading{Stationär}
    
    ToDo: Eintragen der Abkürzungen in das Abkürzungsverzeichnis!!!\\
    
    ESB von magnetisch gekoppelten Stromkreisen einfügen\\
    Spannungsgleichungen der beiden Stromkreise
     \begin{equation}
    	\underline{U_1} = (R_1+jwL_{1\sigma})\cdot\underline{I_1}+jwL_{1h}\cdot\underline{I_\mu}
    \end{equation}
    
    \begin{equation}
   		 \underline{U_2'} = (R_2'+jwL'_{2\sigma})\cdot\underline{I_2'}+jwL_{2h}\cdot\underline{I_\mu}
    \end{equation}
    
    ESB zweier magnetisch gekoppelter Stromkreise fehlt noch
    
    \colorbox{yellow!60}{Streuziffer}
    \begin{equation}
    	\sigma_1 = \frac{L_{1\sigma}}{L_{1h}}
    \end{equation}
    
    \colorbox{yellow!60}{Gesamtstreuung}
    \begin{equation}
    \sigma = 1-\frac{1}{(1+\sigma_1)\cdot(1+\sigma_2)} = 1 - \frac{M^2}{L_1L_2} = 1-\frac{M^2}{M(1+sigma_1)+M(1+\sigma_2)}
    \end{equation}
    
	Strangströme für Feldmaxima
	
	\begin{equation}
		b_u(t) = B \cdot cos(wt)= Re(b_u(t)\cdot e^{j\epsilon_0})
	\end{equation}
	
	\begin{equation}
		b_v(t) = B \cdot cos(wt-\frac{2\pi}{3})= Re(b_v(t)\cdot e^{j\epsilon_0}\cdot e^{j\frac{2\pi}{3}})
	\end{equation}
	
	\begin{equation}
		b_w(t) = B \cdot cos(wt-\frac{4\pi}{3})= Re(b_w(t)\cdot e^{j\epsilon_0}\cdot e^{j\frac{4\pi}{3}})
	\end{equation}
    
    \begin{equation}
    	b_res(t) = Re(e^{j\epsilon_0}(b_u(t)+b_v(t)\cdot \underbrace{e^{j\frac{2\pi}{3}}}_{a}+b_w(t)\cdot \underbrace{e^{j\frac{4\pi}{3}}}_{a^2})
    \end{equation}
    
    Definition des Raumzeigers
    \begin{equation}
    	\vec{B}= \frac{2}{3}(b_u(t)+\underline{a}\cdot b_v(t)+\underline{a^2}\cdot b_w(t))
    \end{equation}
    
    Raumzeiger von Strömen
    \begin{equation}
   		\vec{I}= \frac{2}{3}(i_u(t)+\underline{a}\cdot i_v(t)+\underline{a^2}\cdot i_w(t))
    \end{equation}
    
    bei symmetrischen Ströme
    \begin{equation}
    	i_u(t) + i_v(t) + i_w(t)  = 0
    \end{equation}
    
    Stromraumzeiger
    \begin{equation}
    	\vec{I}_1= \frac{2}{3}(i_u(t)+\underbrace{(-\frac{1}{2}+j\frac{\sqrt{3}}{2})}_{e^{j\frac{2\pi}{3}}}\cdot i_v(t)+\underbrace{(-\frac{1}{2}-j\frac{\sqrt{3}}{2})}_{e^{j\frac{4\pi}{3}}} \cdot i_w(t))
    \end{equation}
    
    Ersatzströme
     \begin{equation}
    	I_{1\alpha} = Re(\vec{I}_1) = i_u(t)
    \end{equation}
    
    \begin{equation}
    	I_{1\beta} = Im(\vec{I}_1) = \frac{i_v(t)-i_w(t)}{\sqrt{3}}
    \end{equation}
    
    Koordinatentransformation\\
    ständerfeste Koordinaten: Index S
    \begin{equation}
    	\vec{I}_1^S = \hat{I}_1\cdot e^{j\beta_S} = \vec{I}_1^L\cdot e^{j\beta_L}
    \end{equation}
    
    \begin{equation}
    	I_{1\alpha} = \hat{I}_1\cdot cos\beta_S
    \end{equation}
    
    \begin{equation}
    	I_{1\beta} = \hat{I}_1\cdot sin\beta_S
    \end{equation}
    läuferfeste Koordinaten: Index L
    \begin{equation}
    	\vec{I}_1^L = \frac{\hat{I}_1 \cdot e^{j(\beta_S-\beta_L)}}{\vec{I}_1^S\cdot e^{-j\beta_L}}
    \end{equation}
    
    Spannungsgleichung in Raumzeigerdarstellung\\
    \begin{equation}
    	\vec{U}_1^S = R_1\cdot \vec{I}_1^S + \frac{d\vec{\psi}_1^S}{dt}
    \end{equation}
    
    Allgemein Flussverkettung
    \begin{equation}
    	\psi = N \cdot \phi
    \end{equation}
    
    Flussverkettung im Ständer
    \begin{equation}
    	\vec{\psi}_1^S =l_1 \cdot \vec{I}_1^S + M\cdot \vec{I}_2^S
    \end{equation}
    
    Flussverkettung des Ständers im rotierenden Koordinatensystem
    \begin{equation}
    	\vec{\psi}_1^k =\vec{\psi}_1^S \cdot e^{j\beta k}
    \end{equation}
    
    Flussverkettung des Ständers im ständerfesten Koordinatensystem
    \begin{equation}
    	\vec{\psi}_1^S = \vec{\psi}_1^k \cdot e^{j\beta_k}
    \end{equation}
    
    Flussverkettung im Läufer
    \begin{equation}
    	\vec{\psi}_2^S =l_2 \cdot \vec{I}_2^S + M\cdot \vec{I}_1^S
    \end{equation}
    
    Ständerstromraumzeiger
    \begin{equation}
    	\vec{I}_1^S = \frac{\vec{\psi}_1^S}{\sigma_{L1}} - \frac{M}{\sigma L_1 L_2}\cdot \vec{\psi}_2^S
    \end{equation}
    
    Läuferstromraumzeiger
    \begin{equation}
    	\vec{I}_2^S = \frac{\vec{\psi}_2^S}{\sigma_{L2}} - \frac{M}{\sigma L_1 L_2}\cdot \vec{\psi}_1^S = \frac{\vec{I}_\mu^S - \vec{I}_1^S}{1+\sigma_2}
    \end{equation}
    
    Ständerspannungsgleichung
    \begin{equation}
    	\vec{U}_1^k = R_1 \cdot \vec{I}_1^k+\frac{d\vec{\psi}_1^k}{dt}+j\omega_k \cdot \vec{\psi}_1^k
    \end{equation}
    
    Läuferspannungsgleichung
   \begin{equation}
   		 \vec{U}_2^k = R_2 \cdot \vec{I}_2^k+\frac{d\vec{\psi}_2^k}{dt}+j(\omega_k -\omega_L)\cdot \vec{\psi}_2^k
    \end{equation}
    ..... nachher geht es weiter
    
\end{multicols*}

\begin{multicols*}{2}
    \subheading{Synchronmaschine}
    \begin{tabularx}{\columnwidth}{p{2cm} X}
        \textbf{Formelzeichen}		& \textbf{Beschreibung} \\
        \hline
        $I_{KS}$		& Kurzschlussstrom [A]\\
        $U_{DC}$	    & Batteriegleichspannung bzw. Zwischenkreisspannung auch $U_{Bat}$ [V]\\
        $\psi$		    & Statorfluss [Vs]\\
        $\psi_d$	    & d-Komponente des Statorflusses [Vs]\\
        $\psi_q$	    & q-Komponente des Statorflusses [Vs]\\
        $\psi_{PM}$     & Permanent Magnetfluss [Vs]\\
        $p$             & Polpaarzahl [-]\\
        $U_{ph,max}$    & maximale Phasenspannung [V]\\
        $U_{ph}$        & Phasenspannung [V]\\
        $U_d$           & d-Komponente der Statorspannung [V]\\
        $U_q$           & q-Komponente der Statorspannung [V]\\
        $I_d$           & d-Komponente des Statorstrom [A]\\
        $I_q$           & q-Komponente des Statorstrom [A]\\
        $m_o$           & Modulations Index [-]\\
        $M$             & Drehmoment [Nm]\\
        $M_{Ref}$       & Referenzdrehmoment [Nm]\\
        $n$             & mechanische Drehzahl [rpm]\\
        $L_d$           & d-Komponente der Induktivität der Statorwicklung [H]\\
        $L_q$           & q-Komponente der Induktivität der Statorwicklung [H]\\
        $R_s$           & Statorwiderstand [$\Omega$]\\
        $I_{max}$       & maximaler Phasenstrom [A]\\
        $\omega_{el}$   & elektrische Winkelgeschwindgkeit [$\frac{rad}{s}$]\\
        $\omega_{mech}$ & mechanische Winkelgeschwindgkeit [$\frac{rad}{s}$]\\
        $U_{EMF}$       & induzierte Spannung (EMF = Elektric Motoric Force) [V]\\
        $u_{a,b,c}$     & Strangspannungen [V]\\
    \end{tabularx}
    
\end{multicols*}

\end{document}