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\documentclass[7pt,a4paper,landscape]{article}
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\usepackage[dvipsnames]{xcolor} %fürs farbige markieren mit \colorbox
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\usetikzlibrary{automata,positioning,calc,matrix} %calc und Matrix für 3x3 det
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\renewcommand*\familydefault{\sfdefault} %% Only if the base font of the document is to be sans serif
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\usepackage{mathrsfs} %für geschwungendes Laplace L
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\usepackage{trfsigns} %für Laplace-Trafo Symbol
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pdftex,
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pdfsubject={Formelsammlung ENT4 Energiewandlung in mechatronischen Systemen},
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%pdfkeywords={MPC, FCS-MPC, field weakening},
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pdfborder={0 0 0}, % Kein Rand um Links
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breaklinks, % Links umbrechen
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bookmarks, % Lesezeichen beim Öffnen des Dokuments anzeigen
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pdfpagelabels, % Zur korrekten Erstellung der Bookmarks
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{\endminipage\par\medskip}
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% Header
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\fancyhead{}
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\fancyfoot{}
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\fancyhead[L]{FS ENT4 SoSe2020 \url{https://git.efi.th-nuernberg.de/gitea/schmidtan65529/ENT4_Formelsammlung.git} Fehler bitte sofort melden!}
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\fancyhead[R]{Seite $\thepage$ von $\pageref{LastPage}$}
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% Document
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\makeatletter
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\newcommand{\xRightarrow}[2][]{\ext@arrow 0359\Rightarrowfill@{#1}{#2}}
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\makeatother
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% Building blocks
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%\newcommand{\heading}[1]{\noindent\section*{\colorbox{SpringGreen}{\framebox[\columnwidth][l]{#1}}}}
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\newcommand{\heading}[1]{\noindent\section*{
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\fcolorbox{black}{SpringGreen}{
|
|
\parbox{0.945\columnwidth}{#1}
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}}}
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\newcommand{\subheading}[1]{\noindent\subsection*{
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}}}
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%\newcommand{\heading}[1]{\noindent\section*{\colorbox{SpringGreen}{\framebox[\columnwidth][l]{#1}}}}
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\newcommand{\subsubheading}[1]{\noindent\framebox[\columnwidth][l]{#1}}
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% centering stuff
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\newcommand{\ccontent}[1]{\parbox{\columnwidth}{\centering{#1}}}
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% for partial derivative at a point
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\newcommand*{\at}[2][]{#1|_{#2}}
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%for yellow highlights in equations
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\newcommand{\highlight}[1]{\colorbox{yellow}{$\displaystyle #1$}}
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\graphicspath{{Abbildungen/}} %Fügt den Pfad der Abbildungen hinzu
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% Content
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\begin{document}
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\footnotesize
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\begin{multicols*}{3}
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\heading{Asynchronmaschine}
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\begin{tabularx}{\columnwidth}{p{2cm} X}
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|
\textbf{Formelzeichen} & \textbf{Beschreibung} \\
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\hline
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$X_{h}$ & Hauptreaktanz [?]\\
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|
$X_{k}$ & Streureaktanz [?]\\
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$R_2'~^{1)}$ & Läuferwiderstand [$\Omega$]\\
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$P_{\delta}$ & Luftspaltleistung $ = P_{el}$ [W]\\
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|
$P_{Cu2}$ & Stromwärmeverluste/ohmsche Läuferverluste [W]\\
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|
$P_{mech}$ & mechanische Leistung [W]\\
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|
$f_1~^{2)}$ & Ständerfrequenz [Hz]\\
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|
$f_2$ & Läuferfrequenz [Hz]\\
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|
$\omega_{1/2}$ & Sänder-/Läuferkreisfrequenz [$\frac{1}{s}$]\\
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|
$n_1$ & Läuferdrehzahl (synchron) [$\frac{1}{min}$]\\
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|
$n = n_N$ & Ständerdrehzahl (asyncrhon) [$\frac{1}{min}$]\\
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|
$s$ & Schlupf [\%]\\
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|
$p$ & Polpaarzahl\\
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|
$\underline{I}_\mu$ & ?\\
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$\underline{I}_1$ & ?\\
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$\underline{I}_2$ & ?\\
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$M_A$ & ?\\
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|
$U_A$ & ?\\
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|
$I_A$ & ?\\
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|
$\phi_N$ & ? \\
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|
\end{tabularx}
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|
$~^{1)}$ ' heißt die Läufergröße ist auf Ständer umgerechnet\\
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|
$~^{2)}$ Index 1 immer Ständergröße, Index 2 immer Läufergröße\\
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|
$~^{3)}$ $~^*$ heißt reduziert\\
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\subheading{Am Netz}
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|
Voraussetzung für ein zeitlich konstantes Drehmoment ist ein mit konstanter Winkelgeschwindgkeit im Luftspalt umlaufendes, räumlich möglichst sinusförmig verteiltes magnetisches Feld. \\
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\colorbox{yellow!60}{Grundfeld einer Drehstromwicklung:}
|
|
\begin{equation}\tag{3.2.1}
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|
b_p(x,t) = B_p \cdot cos(px -\omega_1t)
|
|
\end{equation}
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|
Zusammenhang Ständer- und Läuferkoordinaten:\\
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|
\includegraphics[width= 0.2\columnwidth]{ZusammenhangSaenderLaeufer.jpg}
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|
\begin{equation}\tag{3.3.1}
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|
x_1 = 2\pi nt+x_2
|
|
\end{equation}
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|
\colorbox{yellow!60}{Frequenz:}
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|
\begin{equation}\tag{3.3.2}
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|
f_2 = f_1 \cdot (1-n\cdot p/f_1) = f_1 - pn
|
|
\end{equation}
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|
Bei stillstehendem Läufer (n = 0) sind Sänder- und Läuferfrequenz gleich ($f_2 = f_1$). Wenn sich der Läufer mit der \colorbox{yellow!60}{synchronen Drehzahl}
|
|
\begin{equation}\tag{3.2.3}
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|
n = n_1 = f_1/p = 1-\frac{p\cdot n}{f_1}
|
|
\end{equation}
|
|
dreht, so ist die Läuferfrequenz Null.
|
|
\begin{equation}\tag{3.3.3}
|
|
f_2 = s\cdot f_1
|
|
\end{equation}
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|
\colorbox{yellow!60}{Schlupf:}\\
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|
Bei Leerlauf ist s = 0, im Stillstand s = 1.
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|
\begin{equation}\tag{3.3.4}
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|
s = 1-\frac{p\cdot n}{f_1} = 1-\frac{n}{n_1} = \frac{n_1-n}{n_1}
|
|
\end{equation}
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|
Prozentuale/relative Abweichung der Läuferdrehzahl von der \colorbox{yellow!60}{synchronen Drehzahl $n_1$} (bei Synchronmaschinen ist s = 0, bei ASM möglichst klein)\\
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|
\subsubheading{Ersatzschaltbild}
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|
Strangsröme werden im ESB mit ' gekennzeichnet (sie unterscheiden sich nur duch die Phasenlagen)\\
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|
\includegraphics[width= 0.5\columnwidth]{ErsatzschaltbildAsynchr.jpg}
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|
\begin{equation}\tag{3.3.6}
|
|
\underline{I}_\mu = \underline{I}_1 + \underline{I}_2
|
|
\end{equation}
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|
\textcolor{magenta}{Kanns sein, dass in der Formel die ' nicht passen?}\\
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|
im Läufer \colorbox{yellow!60}{umgesetzte Leistung:} (Läuferverlustleistung)
|
|
\begin{equation}\tag{3.3.7}
|
|
P_\delta = 3\cdot I_2' \cdot \frac{R_2'}{s} = s \cdot P_\delta + (1-s)\cdot P_\delta = P_{Cu2} + P_{mech}
|
|
\end{equation}
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|
'Gesetz über die Spaltung der Luftspaltleitung':\\
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|
\colorbox{yellow!60}{Stromwärmeverluste} in der Läuferwicklung:
|
|
\begin{equation}\tag{3.3.9}
|
|
P_{Cu2} = 3\cdot I_2' \cdot R_2' = s\cdot P_\delta
|
|
\end{equation}
|
|
\colorbox{yellow!60}{mechanische Leistung:}
|
|
\begin{equation}\tag{3.3.10}
|
|
P_{mech} = P_\delta - P_{Cu2} = P_\delta \cdot (1-s)
|
|
\end{equation}
|
|
\colorbox{yellow!60}{Drehmoment:}
|
|
\begin{equation}\tag{3.3.11}
|
|
M = \frac{P_{mech}}{2\pi n} = \frac{P_\delta (1-s)}{2\pi n_1 (1-s)} = \frac{P_\delta}{2\pi n_1}
|
|
\end{equation}
|
|
\colorbox{yellow!60}{Wirkungsgrad:}
|
|
\begin{equation}
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|
\eta = \frac{P_{Welle}}{P_{el}}
|
|
\end{equation}
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|
\subsubheading{Stromortskurve}
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\colorbox{yellow!60}{Leitwertstromortskurve(?????)}
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\begin{equation}
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|
s = 0:~~~~~~~~\underline{Y}_0 = \frac{-j}{X_R}
|
|
\end{equation}
|
|
\begin{equation}
|
|
s = \infty:~~~~~~~~\underline{Y}_\infty = \frac{-j}{X_R} - \frac{j}{X_K}
|
|
\end{equation}
|
|
\colorbox{yellow!60}{Kreismittelpunkt:}
|
|
\begin{equation}
|
|
\underline{Y} = \frac{-j}{X_R}- \frac{j}{2X_K}
|
|
\end{equation}
|
|
\colorbox{yellow!60}{Kreisradius:}
|
|
\begin{equation}
|
|
r = \frac{1}{2X_K}
|
|
\end{equation}
|
|
Leerlaufstrom/Magnestisierungsstrom: $I_0 = I_\mu$ (0|0)-$P_0$\\
|
|
Ständerstrom $I_1$ (0|0) - P\\
|
|
Läuferstrom $I_2'$ P - $P_0$\\
|
|
\begin{equation}
|
|
\textcolor{orange}{\overline{P_k C}} \sim (3)^* R_2' I_{2k}' (= 2\pi n_1 M_A)
|
|
\end{equation}
|
|
$~^* $Faktor 3 nur bei Sternschaltung
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|
\begin{equation}
|
|
\textcolor{orange}{\overline{P_0 B}} \sim I_{2}'^2
|
|
\end{equation}
|
|
\begin{equation}
|
|
\textcolor{red}{\overline{P_0 C}} \sim I_{2k}'^2
|
|
\end{equation}
|
|
Läuferstromwärmeverluste:
|
|
\begin{equation}
|
|
\textcolor{red}{\overline{A B}} = \frac{\overline{P_0 B}}{\overline{P_0 C}}\cdot \overline{P_k C} \sim \frac{I_{2}'^2}{I_{2k}'^2} (3)^* R_2' I_{2k}' = P_{Cu2}
|
|
\end{equation}
|
|
Luftspaltleistung/elektrisch aufgenommene Leistung:
|
|
\begin{equation}
|
|
\textcolor{blue}{\overline{P B}} \sim P_{el} = P_\delta
|
|
\end{equation}
|
|
mechanische Leistung:
|
|
\begin{equation}
|
|
\textcolor{blue}{\overline{P A}} \sim P_{mech} = P_\delta - P_{Cu2}
|
|
\end{equation}
|
|
\colorbox{yellow!60}{Y-Schaltung:} $P_{Cu2} = 3 R_2' I_2'^2$\\
|
|
\colorbox{yellow!60}{$\Delta$-Schaltung:} $P_{Cu2} = R_2' I_{2L}'^2$\\
|
|
\colorbox{SpringGreen!40}{Parameterbeiche:}\\
|
|
\colorbox{yellow!60}{motorischer Beiche:} $s \leq s \leq 1$\\
|
|
$s = 0$: Synchronismus, Leerlauf\\
|
|
$s = 1$: Stillstand, Kurzschluss\\
|
|
\colorbox{yellow!60}{generatorischer Bereich:} $s < 0$\\
|
|
Luftspaltleistung wird negativ, Asynchronmaschine geht ohne Schaltungsänderung in Generatorbetrieb\\
|
|
\colorbox{yellow!60}{Gegenstrombremsbereich:} $s > 1$\\
|
|
Drezahl n wird negativ ($n = n_1(1-s)$)\\
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item Läufer dreht entgegen der Umlaufrichtung des Luftspaltfeldes.
|
|
\item In diesem Bereich nimmt die ASM mechanische Leistung über die Welle und elektrische Leistung aus dem Netz auf.
|
|
\item Gesamte aufgenommene Leistung wird in Stromwärme umgesetzt.
|
|
\end{itemize}
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|
\begin{equation}
|
|
M_A = (\frac{U_A}{U_A^*})^2 \cdot M_A^*
|
|
\end{equation}
|
|
\begin{equation}
|
|
I_A = \frac{U_N}{U_N^*} \cdot I_A^*
|
|
\end{equation}
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|
|
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|
|
\colorbox{SpringGreen!40}{Maßstäbe:}\\
|
|
Strom: $m_I$ gewählt (Leiterstrom) Einheit: A/cm\\
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|
Leistung: $m_P = \sqrt{3} U_N m_I$ Einheit: W/cm\\
|
|
Drehmoment: $m_M = m_P/(2\pi n_1)$ Einheit: Nm/cm\\
|
|
\includegraphics[width= 1.75\columnwidth, angle = 90]{SOK_TEG_FS.pdf}
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|
\subheading{Stationär}
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ToDo: Eintragen der Abkürzungen in das Abkürzungsverzeichnis!!!\\
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|
ESB von magnetisch gekoppelten Stromkreisen einfügen\\
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|
Spannungsgleichungen der beiden Stromkreise
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|
\begin{equation}
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|
\underline{U_1} = (R_1+jwL_{1\sigma})\cdot\underline{I_1}+jwL_{1h}\cdot\underline{I_\mu}
|
|
\end{equation}
|
|
|
|
\begin{equation}
|
|
\underline{U_2'} = (R_2'+jwL'_{2\sigma})\cdot\underline{I_2'}+jwL_{2h}\cdot\underline{I_\mu}
|
|
\end{equation}
|
|
|
|
ESB zweier magnetisch gekoppelter Stromkreise fehlt noch
|
|
|
|
\colorbox{yellow!60}{Streuziffer}
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|
\begin{equation}
|
|
\sigma_1 = \frac{L_{1\sigma}}{L_{1h}}
|
|
\end{equation}
|
|
|
|
\colorbox{yellow!60}{Gesamtstreuung}
|
|
\begin{equation}
|
|
\sigma = 1-\frac{1}{(1+\sigma_1)\cdot(1+\sigma_2)} = 1 - \frac{M^2}{L_1L_2} = 1-\frac{M^2}{M(1+sigma_1)+M(1+\sigma_2)}
|
|
\end{equation}
|
|
|
|
Strangströme für Feldmaxima
|
|
|
|
\begin{equation}
|
|
b_u(t) = B \cdot cos(wt)= Re(b_u(t)\cdot e^{j\epsilon_0})
|
|
\end{equation}
|
|
|
|
\begin{equation}
|
|
b_v(t) = B \cdot cos(wt-\frac{2\pi}{3})= Re(b_v(t)\cdot e^{j\epsilon_0}\cdot e^{j\frac{2\pi}{3}})
|
|
\end{equation}
|
|
|
|
\begin{equation}
|
|
b_w(t) = B \cdot cos(wt-\frac{4\pi}{3})= Re(b_w(t)\cdot e^{j\epsilon_0}\cdot e^{j\frac{4\pi}{3}})
|
|
\end{equation}
|
|
|
|
\begin{equation}
|
|
b_res(t) = Re(e^{j\epsilon_0}(b_u(t)+b_v(t)\cdot \underbrace{e^{j\frac{2\pi}{3}}}_{a}+b_w(t)\cdot \underbrace{e^{j\frac{4\pi}{3}}}_{a^2})
|
|
\end{equation}
|
|
|
|
Definition des Raumzeigers
|
|
\begin{equation}
|
|
\vec{B}= \frac{2}{3}(b_u(t)+\underline{a}\cdot b_v(t)+\underline{a^2}\cdot b_w(t))
|
|
\end{equation}
|
|
|
|
Raumzeiger von Strömen
|
|
\begin{equation}
|
|
\vec{I}= \frac{2}{3}(i_u(t)+\underline{a}\cdot i_v(t)+\underline{a^2}\cdot i_w(t))
|
|
\end{equation}
|
|
|
|
bei symmetrischen Ströme
|
|
\begin{equation}
|
|
i_u(t) + i_v(t) + i_w(t) = 0
|
|
\end{equation}
|
|
|
|
Stromraumzeiger
|
|
\begin{equation}
|
|
\vec{I}_1= \frac{2}{3}(i_u(t)+\underbrace{(-\frac{1}{2}+j\frac{\sqrt{3}}{2})}_{e^{j\frac{2\pi}{3}}}\cdot i_v(t)+\underbrace{(-\frac{1}{2}-j\frac{\sqrt{3}}{2})}_{e^{j\frac{4\pi}{3}}} \cdot i_w(t))
|
|
\end{equation}
|
|
|
|
Ersatzströme
|
|
\begin{equation}
|
|
I_{1\alpha} = Re(\vec{I}_1) = i_u(t)
|
|
\end{equation}
|
|
|
|
\begin{equation}
|
|
I_{1\beta} = Im(\vec{I}_1) = \frac{i_v(t)-i_w(t)}{\sqrt{3}}
|
|
\end{equation}
|
|
|
|
Koordinatentransformation\\
|
|
ständerfeste Koordinaten: Index S
|
|
\begin{equation}
|
|
\vec{I}_1^S = \hat{I}_1\cdot e^{j\beta_S} = \vec{I}_1^L\cdot e^{j\beta_L}
|
|
\end{equation}
|
|
|
|
\begin{equation}
|
|
I_{1\alpha} = \hat{I}_1\cdot cos\beta_S
|
|
\end{equation}
|
|
|
|
\begin{equation}
|
|
I_{1\beta} = \hat{I}_1\cdot sin\beta_S
|
|
\end{equation}
|
|
läuferfeste Koordinaten: Index L
|
|
\begin{equation}
|
|
\vec{I}_1^L = \frac{\hat{I}_1 \cdot e^{j(\beta_S-\beta_L)}}{\vec{I}_1^S\cdot e^{-j\beta_L}}
|
|
\end{equation}
|
|
|
|
Spannungsgleichung in Raumzeigerdarstellung\\
|
|
\begin{equation}
|
|
\vec{U}_1^S = R_1\cdot \vec{I}_1^S + \frac{d\vec{\psi}_1^S}{dt}
|
|
\end{equation}
|
|
|
|
Allgemein Flussverkettung
|
|
\begin{equation}
|
|
\psi = N \cdot \phi
|
|
\end{equation}
|
|
|
|
Flussverkettung im Ständer
|
|
\begin{equation}
|
|
\vec{\psi}_1^S =l_1 \cdot \vec{I}_1^S + M\cdot \vec{I}_2^S
|
|
\end{equation}
|
|
|
|
Flussverkettung des Ständers im rotierenden Koordinatensystem
|
|
\begin{equation}
|
|
\vec{\psi}_1^k =\vec{\psi}_1^S \cdot e^{j\beta k}
|
|
\end{equation}
|
|
|
|
Flussverkettung des Ständers im ständerfesten Koordinatensystem
|
|
\begin{equation}
|
|
\vec{\psi}_1^S = \vec{\psi}_1^k \cdot e^{j\beta_k}
|
|
\end{equation}
|
|
|
|
Flussverkettung im Läufer
|
|
\begin{equation}
|
|
\vec{\psi}_2^S =l_2 \cdot \vec{I}_2^S + M\cdot \vec{I}_1^S
|
|
\end{equation}
|
|
|
|
Ständerstromraumzeiger
|
|
\begin{equation}
|
|
\vec{I}_1^S = \frac{\vec{\psi}_1^S}{\sigma_{L1}} - \frac{M}{\sigma L_1 L_2}\cdot \vec{\psi}_2^S
|
|
\end{equation}
|
|
|
|
Läuferstromraumzeiger
|
|
\begin{equation}
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\vec{I}_2^S = \frac{\vec{\psi}_2^S}{\sigma_{L2}} - \frac{M}{\sigma L_1 L_2}\cdot \vec{\psi}_1^S = \frac{\vec{I}_\mu^S - \vec{I}_1^S}{1+\sigma_2}
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\end{equation}
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Ständerspannungsgleichung
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\begin{equation}
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\vec{U}_1^k = R_1 \cdot \vec{I}_1^k+\frac{d\vec{\psi}_1^k}{dt}+j\omega_k \cdot \vec{\psi}_1^k
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\end{equation}
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Läuferspannungsgleichung
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\begin{equation}
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\vec{U}_2^k = R_2 \cdot \vec{I}_2^k+\frac{d\vec{\psi}_2^k}{dt}+j(\omega_k -\omega_L)\cdot \vec{\psi}_2^k
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\end{equation}
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..... nachher geht es weiter
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\end{multicols*}
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\begin{multicols*}{2}
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\subheading{Synchronmaschine}
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\begin{tabularx}{\columnwidth}{p{2cm} X}
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\textbf{Formelzeichen} & \textbf{Beschreibung} \\
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\hline
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$I_{KS}$ & Kurzschlussstrom [A]\\
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$U_{DC}$ & Batteriegleichspannung bzw. Zwischenkreisspannung auch $U_{Bat}$ [V]\\
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$\psi$ & Statorfluss [Vs]\\
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$\psi_d$ & d-Komponente des Statorflusses [Vs]\\
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$\psi_q$ & q-Komponente des Statorflusses [Vs]\\
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$\psi_{PM}$ & Permanent Magnetfluss [Vs]\\
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$p$ & Polpaarzahl [-]\\
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$U_{ph,max}$ & maximale Phasenspannung [V]\\
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$U_{ph}$ & Phasenspannung [V]\\
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$U_d$ & d-Komponente der Statorspannung [V]\\
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$U_q$ & q-Komponente der Statorspannung [V]\\
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$I_d$ & d-Komponente des Statorstrom [A]\\
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$I_q$ & q-Komponente des Statorstrom [A]\\
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$m_o$ & Modulations Index [-]\\
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$M$ & Drehmoment [Nm]\\
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$M_{Ref}$ & Referenzdrehmoment [Nm]\\
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$n$ & mechanische Drehzahl [rpm]\\
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$L_d$ & d-Komponente der Induktivität der Statorwicklung [H]\\
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$L_q$ & q-Komponente der Induktivität der Statorwicklung [H]\\
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$R_s$ & Statorwiderstand [$\Omega$]\\
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$I_{max}$ & maximaler Phasenstrom [A]\\
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$\omega_{el}$ & elektrische Winkelgeschwindgkeit [$\frac{rad}{s}$]\\
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$\omega_{mech}$ & mechanische Winkelgeschwindgkeit [$\frac{rad}{s}$]\\
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$U_{EMF}$ & induzierte Spannung (EMF = Elektric Motoric Force) [V]\\
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$u_{a,b,c}$ & Strangspannungen [V]\\
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\end{tabularx}
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\end{multicols*}
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\end{document} |