FEM Teil hinzugefügt

# Conflicts:
#	ENT4_FS.pdf
Versuch des ersten Committs

ENT4_FS.tex

@@ -56,11 +56,17 @@ pdfpagelabels,                                 % Zur korrekten Erstellung der Bo
 hypertexnames=false                   % Zur korrekten Erstellung der Bookmarks
 ]{hyperref}
 
+
+% PDFs einbinden
+\newenvironment{Figure}
+  {\par\medskip\noindent\minipage{\linewidth}}
+  {\endminipage\par\medskip}
+
 % Header
 \pagestyle{fancy}
 \fancyhead{}
 \fancyfoot{}
-\fancyhead[L]{FS ENT4 SoSe2020, Annette Schmidt, \url{https://git.efi.th-nuernberg.de/gitea/schmidtan65529/ENT4_Formelsammlung.git} Fehler bitte sofort melden!}
+\fancyhead[L]{FS ENT4 SoSe2020 \url{https://git.efi.th-nuernberg.de/gitea/schmidtan65529/ENT4_Formelsammlung.git} Fehler bitte sofort melden!}
 \fancyhead[R]{Seite $\thepage$ von $\pageref{LastPage}$}
 \fancyheadoffset{0cm}
 
@@ -132,59 +138,88 @@ hypertexnames=false                   % Zur korrekten Erstellung der Bookmarks
         $f_1~^{2)}$          & Ständerfrequenz [Hz]\\
         $f_2$           & Läuferfrequenz [Hz]\\
         $\omega_{1/2}$  & Sänder-/Läuferkreisfrequenz [$\frac{1}{s}$]\\
-        $n = n_1$             & Läuferdrehzahl [$\frac{1}{min}$]\\
+        $n_1$             & Läuferdrehzahl (synchron) [$\frac{1}{min}$]\\
+        $n = n_N$             & Ständerdrehzahl (asyncrhon) [$\frac{1}{min}$]\\
         $s$             & Schlupf [\%]\\
         $p$             & Polpaarzahl\\
         $\underline{I}_\mu$ & ?\\
         $\underline{I}_1$ & ?\\
         $\underline{I}_2$ & ?\\
+        $M_A$ & ?\\
+        $U_A$ & ?\\
+        $I_A$ & ?\\
+        $\phi_N$ & ? \\
     \end{tabularx}
     $~^{1)}$ ' heißt die Läufergröße ist auf Ständer umgerechnet\\
     $~^{2)}$ Index 1 immer Ständergröße, Index 2 immer Läufergröße\\
+    $~^{3)}$ $~^*$ heißt reduziert\\
     \subheading{Am Netz}
     Voraussetzung für ein zeitlich konstantes Drehmoment ist ein mit konstanter Winkelgeschwindgkeit im Luftspalt umlaufendes, räumlich möglichst sinusförmig verteiltes magnetisches Feld. \\	
     \colorbox{yellow!60}{Grundfeld einer Drehstromwicklung:}
-    \begin{equation}
+    \begin{equation}\tag{3.2.1}
         b_p(x,t) = B_p \cdot cos(px -\omega_1t)
     \end{equation}
     Zusammenhang Ständer- und Läuferkoordinaten:\\
     \includegraphics[width= 0.2\columnwidth]{ZusammenhangSaenderLaeufer.jpg}
-    \begin{equation}
+    \begin{equation}\tag{3.3.1}
         x_1 = 2\pi nt+x_2
     \end{equation}
     \colorbox{yellow!60}{Frequenz:}
-    \begin{equation}
+    \begin{equation}\tag{3.3.2}
         f_2 = f_1 \cdot (1-n\cdot p/f_1) = f_1 - pn
     \end{equation}
     Bei stillstehendem Läufer (n = 0) sind Sänder- und Läuferfrequenz gleich ($f_2 = f_1$). Wenn sich der Läufer mit der \colorbox{yellow!60}{synchronen Drehzahl}
-    \begin{equation}
+    \begin{equation}\tag{3.2.3}
         n = n_1 = f_1/p = 1-\frac{p\cdot n}{f_1}
     \end{equation}
     dreht, so ist die Läuferfrequenz Null. 
-    \begin{equation}
+    \begin{equation}\tag{3.3.3}
         f_2 = s\cdot f_1
     \end{equation}
     \colorbox{yellow!60}{Schlupf:}\\
     Bei Leerlauf ist s = 0, im Stillstand s = 1.
-    \begin{equation}
+    \begin{equation}\tag{3.3.4}
         s = 1-\frac{p\cdot n}{f_1} = 1-\frac{n}{n_1} = \frac{n_1-n}{n_1}
     \end{equation}
     Prozentuale/relative Abweichung der Läuferdrehzahl von der \colorbox{yellow!60}{synchronen Drehzahl $n_1$} (bei Synchronmaschinen ist s = 0, bei ASM möglichst klein)\\
     \subsubheading{Ersatzschaltbild}
     Strangsröme werden im ESB mit ' gekennzeichnet (sie unterscheiden sich nur duch die Phasenlagen)\\
     \includegraphics[width= 0.5\columnwidth]{ErsatzschaltbildAsynchr.jpg}
-    \begin{equation}
+    \begin{equation}\tag{3.3.6}
         \underline{I}_\mu = \underline{I}_1 + \underline{I}_2 
     \end{equation}
-    \textcolor{magenta}{Kanns sein, dass in der Formel die ' nicht passen?}
-    \colorbox{yellow!60}{Leitwertsortskurve(?????)}
+    \textcolor{magenta}{Kanns sein, dass in der Formel die ' nicht passen?}\\
+    im Läufer \colorbox{yellow!60}{umgesetzte Leistung:} (Läuferverlustleistung)
+    \begin{equation}\tag{3.3.7}
+        P_\delta = 3\cdot I_2' \cdot \frac{R_2'}{s} = s \cdot P_\delta + (1-s)\cdot P_\delta = P_{Cu2} + P_{mech}
+    \end{equation}
+    'Gesetz über die Spaltung der Luftspaltleitung':\\
+    \colorbox{yellow!60}{Stromwärmeverluste} in der Läuferwicklung: 
+    \begin{equation}\tag{3.3.9}
+        P_{Cu2} = 3\cdot I_2' \cdot R_2' = s\cdot P_\delta
+    \end{equation}
+    \colorbox{yellow!60}{mechanische Leistung:}
+    \begin{equation}\tag{3.3.10}
+        P_{mech} = P_\delta - P_{Cu2} = P_\delta \cdot (1-s)
+    \end{equation}
+    \colorbox{yellow!60}{Drehmoment:}
+    \begin{equation}\tag{3.3.11}
+        M = \frac{P_{mech}}{2\pi n} = \frac{P_\delta (1-s)}{2\pi n_1 (1-s)} = \frac{P_\delta}{2\pi n_1}
+    \end{equation}
+    \colorbox{yellow!60}{Wirkungsgrad:}
+    \begin{equation}
+        \eta = \frac{P_{Welle}}{P_{el}}
+    \end{equation}
+
+    \subsubheading{Stromortskurve}
+    \colorbox{yellow!60}{Leitwertstromortskurve(?????)}
     \begin{equation}
         s = 0:~~~~~~~~\underline{Y}_0 = \frac{-j}{X_R}
     \end{equation}
     \begin{equation}
         s = \infty:~~~~~~~~\underline{Y}_\infty = \frac{-j}{X_R} - \frac{j}{X_K}
     \end{equation}
-    \colorbox{yellow!60}{Kreismuttelpunkt:}
+    \colorbox{yellow!60}{Kreismittelpunkt:}
     \begin{equation}
         \underline{Y} = \frac{-j}{X_R}- \frac{j}{2X_K}
     \end{equation}
@@ -192,35 +227,413 @@ hypertexnames=false                   % Zur korrekten Erstellung der Bookmarks
     \begin{equation}
         r = \frac{1}{2X_K}
     \end{equation}
-    im Läufer \colorbox{yellow!60}{umgesetzte Leistung:} (Läuferverlustleistung)
+    Leerlaufstrom/Magnestisierungsstrom: $I_0 = I_\mu$ (0|0)-$P_0$\\
+    Ständerstrom $I_1$ (0|0) - P\\
+    Läuferstrom $I_2'$ P - $P_0$\\
     \begin{equation}
-        P_\mu = 3\cdot I_2' \cdot \frac{R_2'}{s} = s \cdot P_\mu + (1-s)\cdot P_\mu = P_{Cu2} + P_{mech}
+        \textcolor{orange}{\overline{P_k C}} \sim (3)^* R_2' I_{2k}' (= 2\pi n_1 M_A)
     \end{equation}
-    'Gesetz über die Spaltung der Luftspaltleitung':\\
-    \colorbox{yellow!60}{Stromwärmeverluste} in der Läuferwicklung: 
+    $~^* $Faktor 3 nur bei Sternschaltung
     \begin{equation}
-        P_{Cu2} = 3\cdot I_2' \cdot R_2' = s\cdot P_\mu
+        \textcolor{orange}{\overline{P_0 B}} \sim I_{2}'^2
     \end{equation}
-    \colorbox{yellow!60}{mechanische Leistung:}
     \begin{equation}
-        P_{mech} = P_\mu - P_{Cu2} = P_\mu \cdot (1-s)
+        \textcolor{red}{\overline{P_0 C}} \sim I_{2k}'^2
     \end{equation}
-    \colorbox{yellow!60}{Drehmoment:}
+    Läuferstromwärmeverluste:
     \begin{equation}
-        M = \frac{P_{mech}}{2\pi n} = \frac{P_\mu (1-s)}{2\pi n_1 (1-s)} = \frac{P_\mu}{2\pi n_1}
+        \textcolor{red}{\overline{A B}} = \frac{\overline{P_0 B}}{\overline{P_0 C}}\cdot \overline{P_k C} \sim \frac{I_{2}'^2}{I_{2k}'^2} (3)^* R_2' I_{2k}' = P_{Cu2}
     \end{equation}
-    \colorbox{yellow!60}{Wirkungsgrad:}
+    Luftspaltleistung/elektrisch aufgenommene Leistung: 
     \begin{equation}
-        \eta = \frac{P_{Welle}}{P_{el}}
+        \textcolor{blue}{\overline{P B}} \sim P_{el} = P_\delta
+    \end{equation}
+    mechanische Leistung: 
+    \begin{equation}
+        \textcolor{blue}{\overline{P A}} \sim P_{mech} = P_\delta - P_{Cu2}
+    \end{equation}
+    \colorbox{yellow!60}{Y-Schaltung:} $P_{Cu2} = 3 R_2' I_2'^2$\\
+    \colorbox{yellow!60}{$\Delta$-Schaltung:} $P_{Cu2} = R_2' I_{2L}'^2$\\
+    \colorbox{SpringGreen!40}{Parameterbeiche:}\\
+    \colorbox{yellow!60}{motorischer Beiche:} $s \leq s \leq 1$\\
+    $s = 0$: Synchronismus, Leerlauf\\
+    $s = 1$: Stillstand, Kurzschluss\\
+    \colorbox{yellow!60}{generatorischer Bereich:} $s < 0$\\
+    Luftspaltleistung wird negativ, Asynchronmaschine geht ohne Schaltungsänderung in Generatorbetrieb\\
+    \colorbox{yellow!60}{Gegenstrombremsbereich:} $s > 1$\\
+    Drezahl n wird negativ ($n = n_1(1-s)$)\\
+    \begin{itemize}
+        \item Läufer dreht entgegen der Umlaufrichtung des Luftspaltfeldes.
+        \item In diesem Bereich nimmt die ASM mechanische Leistung über die Welle und elektrische Leistung aus dem Netz auf. 
+        \item Gesamte aufgenommene Leistung wird in Stromwärme umgesetzt.
+    \end{itemize}
+    \begin{equation}
+        M_A = (\frac{U_A}{U_A^*})^2 \cdot M_A^*
+    \end{equation}
+    \begin{equation}
+        I_A = \frac{U_N}{U_N^*} \cdot I_A^*
     \end{equation}
 
+
+    \colorbox{SpringGreen!40}{Maßstäbe:}\\
+    Strom: $m_I$ gewählt (Leiterstrom) Einheit: A/cm\\
+    Leistung: $m_P = \sqrt{3} U_N m_I$ Einheit: W/cm\\
+    Drehmoment: $m_M = m_P/(2\pi n_1)$ Einheit: Nm/cm\\
+    \includegraphics[width= 1.75\columnwidth, angle = 90]{SOK_TEG_FS.pdf}
     \subheading{Stationär}
     
+    ToDo: Eintragen der Abkürzungen in das Abkürzungsverzeichnis!!!\\
     
+    ESB von magnetisch gekoppelten Stromkreisen einfügen\\
+    Spannungsgleichungen der beiden Stromkreise
+     \begin{equation}
+    	\underline{U_1} = (R_1+jwL_{1\sigma})\cdot\underline{I_1}+jwL_{1h}\cdot\underline{I_\mu}
+    \end{equation}
+    
+    \begin{equation}
+   		 \underline{U_2'} = (R_2'+jwL'_{2\sigma})\cdot\underline{I_2'}+jwL_{2h}\cdot\underline{I_\mu}
+    \end{equation}
+    
+    ESB zweier magnetisch gekoppelter Stromkreise fehlt noch
+    
+    \colorbox{yellow!60}{Streuziffer}
+    \begin{equation}
+    	\sigma_1 = \frac{L_{1\sigma}}{L_{1h}}
+    \end{equation}
+    
+    \colorbox{yellow!60}{Gesamtstreuung}
+    \begin{equation}
+    \sigma = 1-\frac{1}{(1+\sigma_1)\cdot(1+\sigma_2)} = 1 - \frac{M^2}{L_1L_2} = 1-\frac{M^2}{M(1+sigma_1)+M(1+\sigma_2)}
+    \end{equation}
+    
+	Strangströme für Feldmaxima
+	
+	\begin{equation}
+		b_u(t) = B \cdot cos(wt)= Re(b_u(t)\cdot e^{j\epsilon_0})
+	\end{equation}
+	
+	\begin{equation}
+		b_v(t) = B \cdot cos(wt-\frac{2\pi}{3})= Re(b_v(t)\cdot e^{j\epsilon_0}\cdot e^{j\frac{2\pi}{3}})
+	\end{equation}
+	
+	\begin{equation}
+		b_w(t) = B \cdot cos(wt-\frac{4\pi}{3})= Re(b_w(t)\cdot e^{j\epsilon_0}\cdot e^{j\frac{4\pi}{3}})
+	\end{equation}
+    
+    \begin{equation}
+    	b_res(t) = Re(e^{j\epsilon_0}(b_u(t)+b_v(t)\cdot \underbrace{e^{j\frac{2\pi}{3}}}_{a}+b_w(t)\cdot \underbrace{e^{j\frac{4\pi}{3}}}_{a^2})
+    \end{equation}
+    
+    Definition des Raumzeigers
+    \begin{equation}
+    	\vec{B}= \frac{2}{3}(b_u(t)+\underline{a}\cdot b_v(t)+\underline{a^2}\cdot b_w(t))
+    \end{equation}
+    
+    Raumzeiger von Strömen
+    \begin{equation}
+   		\vec{I}= \frac{2}{3}(i_u(t)+\underline{a}\cdot i_v(t)+\underline{a^2}\cdot i_w(t))
+    \end{equation}
+    
+    bei symmetrischen Ströme
+    \begin{equation}
+    	i_u(t) + i_v(t) + i_w(t)  = 0
+    \end{equation}
+    
+    Stromraumzeiger
+    \begin{equation}
+    	\vec{I}_1= \frac{2}{3}(i_u(t)+\underbrace{(-\frac{1}{2}+j\frac{\sqrt{3}}{2})}_{e^{j\frac{2\pi}{3}}}\cdot i_v(t)+\underbrace{(-\frac{1}{2}-j\frac{\sqrt{3}}{2})}_{e^{j\frac{4\pi}{3}}} \cdot i_w(t))
+    \end{equation}
+    
+    Ersatzströme
+     \begin{equation}
+    	I_{1\alpha} = Re(\vec{I}_1) = i_u(t)
+    \end{equation}
+    
+    \begin{equation}
+    	I_{1\beta} = Im(\vec{I}_1) = \frac{i_v(t)-i_w(t)}{\sqrt{3}}
+    \end{equation}
+    
+    Koordinatentransformation\\
+    ständerfeste Koordinaten: Index S
+    \begin{equation}
+    	\vec{I}_1^S = \hat{I}_1\cdot e^{j\beta_S} = \vec{I}_1^L\cdot e^{j\beta_L}
+    \end{equation}
+    
+    \begin{equation}
+    	I_{1\alpha} = \hat{I}_1\cdot cos\beta_S
+    \end{equation}
+    
+    \begin{equation}
+    	I_{1\beta} = \hat{I}_1\cdot sin\beta_S
+    \end{equation}
+    läuferfeste Koordinaten: Index L
+    \begin{equation}
+    	\vec{I}_1^L = \frac{\hat{I}_1 \cdot e^{j(\beta_S-\beta_L)}}{\vec{I}_1^S\cdot e^{-j\beta_L}}
+    \end{equation}
+    
+    Spannungsgleichung in Raumzeigerdarstellung\\
+    \begin{equation}
+    	\vec{U}_1^S = R_1\cdot \vec{I}_1^S + \frac{d\vec{\psi}_1^S}{dt}
+    \end{equation}
+    
+    Allgemein Flussverkettung
+    \begin{equation}
+    	\psi = N \cdot \phi
+    \end{equation}
+    
+    Flussverkettung im Ständer
+    \begin{equation}
+    	\vec{\psi}_1^S =l_1 \cdot \vec{I}_1^S + M\cdot \vec{I}_2^S
+    \end{equation}
+    
+    Flussverkettung des Ständers im rotierenden Koordinatensystem
+    \begin{equation}
+    	\vec{\psi}_1^k =\vec{\psi}_1^S \cdot e^{j\beta k}
+    \end{equation}
+    
+    Flussverkettung des Ständers im ständerfesten Koordinatensystem
+    \begin{equation}
+    	\vec{\psi}_1^S = \vec{\psi}_1^k \cdot e^{j\beta_k}
+    \end{equation}
+    
+    Flussverkettung im Läufer
+    \begin{equation}
+    	\vec{\psi}_2^S =l_2 \cdot \vec{I}_2^S + M\cdot \vec{I}_1^S
+    \end{equation}
+    
+    Ständerstromraumzeiger
+    \begin{equation}
+    	\vec{I}_1^S = \frac{\vec{\psi}_1^S}{\sigma_{L1}} - \frac{M}{\sigma L_1 L_2}\cdot \vec{\psi}_2^S
+    \end{equation}
+    
+    Läuferstromraumzeiger
+    \begin{equation}
+    	\vec{I}_2^S = \frac{\vec{\psi}_2^S}{\sigma_{L2}} - \frac{M}{\sigma L_1 L_2}\cdot \vec{\psi}_1^S = \frac{\vec{I}_\mu^S - \vec{I}_1^S}{1+\sigma_2}
+    \end{equation}
+    
+    Ständerspannungsgleichung
+    \begin{equation}
+    	\vec{U}_1^k = R_1 \cdot \vec{I}_1^k+\frac{d\vec{\psi}_1^k}{dt}+j\omega_k \cdot \vec{\psi}_1^k
+    \end{equation}
+    
+    Ständerspannungsgleichung in Raumzeigerdarstellung
+    \begin{equation}
+    	\vec{U}_1^S = R_1\cdot \vec{I}_1^S + \frac{d\vec{\psi}_1^S}{dt} = R_1\cdot \vec{I}_1^S + i_1\cdot \frac{d\vec{I}_1^S}{dt} + M\cdot \frac{d\vec{I}_2^S}{dt}
+    \end{equation}
+    
+    Läuferspannungsgleichung
+   \begin{equation}
+   		 \vec{U}_2^k = R_2 \cdot \vec{I}_2^k+\frac{d\vec{\psi}_2^k}{dt}+j(\omega_k -\omega_L)\cdot \vec{\psi}_2^k
+    \end{equation}
+    
+    Läuferspannungsgleichung in Raumzeigerdarstellung
+     \begin{equation}
+    	\vec{U}_2^L = R_2\cdot \vec{I}_2^L + \frac{d\vec{\psi}_2^L}{dt} = 0
+    \end{equation}
+    
+    Läuferspannungsgleichung im Ständerkoordinatensystem
+    \begin{equation}
+    	\vec{U}_2^S = R_2\cdot \frac{\vec{I}_\mu^S - \vec{I}_1^S}{1+\sigma_2} - j\omega_L\cdot M\cdot  \vec{I}_\mu^S+M\frac{d\vec{I}_\mu^S}{dt}
+    \end{equation}
+    
+    ??? 
+    \begin{equation}
+    	\vec{I}_1^k = I_\mu(1-j(\omega_L-\omega_K)\cdot T_2)+T_2\cdot \frac{dI_\mu}{dt}
+    \end{equation}
+    
+    mit T\textsubscript{2}
+    \begin{equation}
+    	T_2 = \frac{M\cdot (1+\sigma_2)}{R_2} = \frac{L_2}{R_2}
+    \end{equation}
+    
+    Längskomponente (flussbildend): Feldbildung folgt mit Zeitkonstante T\textsubscript{2}
+    \begin{equation}
+    	Re(\vec{I}_1^k) = I_{1d} = I_\mu + T_2 \frac{dI_\mu}{dt}
+    \end{equation}
+    
+    Querkomponente (drehmomentbildend): Feldbildung folgt unverzögert
+    \begin{equation}
+    	Im(\vec{I}_1^k) = I_{1q} = (\omega_K - \omega_L)\cdot T_2\cdot I_\mu
+    \end{equation}
+    
+    Drehmoment\\
+    ToDo: Herausfinden welche Formeln relevant sind
+    
+    \colorbox{yellow!60}{Numerische Feldberechnung}\\
+    
+    Magnetische Feldstärke = Magnetische Erregung 
+    \begin{equation}
+    	H = \frac{I}{l} [\frac{A}{m}]
+    \end{equation}
+    
+    Maxwellsche Gleichungen in differentieller Form\\
+    Durchflutungsgesetz 
+    \begin{equation}
+    	rot \vec{H} = \vec{S}
+    \end{equation}
+    
+    Induktionsgesetz
+    \begin{equation}
+    	rot \vec{E} = - \frac{\partial\vec{B}}{\partial t}
+    \end{equation}
+    
+    Materialgesetz
+    \begin{equation}
+    	\vec{B} = \vec{J} + \mu_0 \cdot \vec{H}
+    \end{equation}
+    
+    Strömungsfeld für elektrische Leiter
+    \begin{equation}
+    	\vec{S} = k \cdot \vec{E}
+    \end{equation}
+    
+    Quellenfreiheit
+    \begin{equation}
+    	div \vec{B} = 0
+    \end{equation}
+    
+    Grundprinzip FEM
+    \begin{itemize}
+    	\item Diskretisierung der Feldgebiete (mit Dreiecken 2D oder Tetraeder 3D)
+    	\item iterative Lösung
+    	\item magnetische Feldberechnung: magnetische Feldenergie unterschreitet vorgegeben Grenzwert
+    \end{itemize}
+
+	Da die Rotation für alle wirbelfreien Felder = 0 ist gilt:\\
+	magnetische Flussdichte 
+	\begin{equation}
+		\vec{B} = rot\vec{A}
+	\end{equation}
+	
+	kartesische Koordinaten
+	\begin{equation}
+		rot \vec{A} = \frac{\partial \vec{A}}{\partial y}\cdot \vec{i} - \frac{\partial \vec{A}}{\partial x}\cdot \vec{j}
+	\end{equation}
+	
+	Zylinderkoordinaten
+	\begin{equation}
+		rot \vec{A} = \frac{1}{r}\frac{\partial \vec{A}}{\partial y}\cdot \vec{e}_r - \frac{\partial \vec{A}}{\partial r}\cdot \vec{e}_\varphi
+	\end{equation}
+	
+	Magnetische Vektorpotential/ magnetische Feldstärke\\
+	kartesische Koordinaten
+	\begin{equation}
+		\vec{H} = -grad_{\varphi m} = -(\frac{\partial_{\varphi m}}{\partial x}\cdot \vec{i} + \frac{\partial_ {\varphi m}}{\partial y} \cdot \vec{j})
+	\end{equation}
+	
+	Zylinderkoordinaten
+	\begin{equation}
+		\vec{H} = -grad_{\varphi m} = -(\frac{\partial_{\varphi m}}{\partial r}\cdot \vec{e}_r + \frac{1}{r}\frac{\partial_ {\varphi m}}{\partial \varphi} \cdot \vec{e}_\varphi)
+	\end{equation}
+	
+	Magnetische Energiedichte je Längeneinheit
+	\begin{equation}
+	\frac{dW_{mag}}{l} = \frac{1}{2} \mu H^2 dA
+	\end{equation}
+	
+	Betrag der magnetischen Feldstärke 
+	\begin{equation}
+		H^2 = (\frac{\partial_{\varphi m}}{\partial x})^2 + (\frac{\partial_{\varphi m}}{\partial y})
+	\end{equation}
+	
+	partielle Ableitungen des Skalarprodukts
+	\begin{equation}
+		\frac{\partial_{\varphi m}}{\partial x} = \frac{1}{2A}[(y_2-y_3)\varphi_{m1}+(y_3-y_1)\varphi_{m2}+(y_1-y_2)\varphi_{m3}]
+	\end{equation}
+	\begin{equation}
+		\frac{\partial_{\varphi m}}{\partial y} = \frac{1}{2A}[(x_3-x_2)\varphi_{m1}+(x_1-x_3)\varphi_{m2}+(x_2-x_1)\varphi_{m3}]
+	\end{equation}
+	
+	Minimum magnetische Feldenergie
+	\begin{equation}
+		\frac{\partial W_{mag}/l}{\partial \varphi_m} = 0
+	\end{equation}
+   
+   Mathematisches Konzept der FEM
+   "starke Formulierung"
+   \begin{equation}
+   		Res = rot \vec{H} - \vec{S} = \frac{1}{\mu} rot rot \vec{A}-\vec{S}
+   \end{equation}
+   
+   "schwache Formulierung " ????\\
+   
+   Flussdichte 
+   \begin{equation}
+   	B = J + \mu_0 H = \mu_0 \mu_r H
+   \end{equation}
+   
+   aus den gemessenen Kennliniepunkten Geradengleichung
+   \begin{equation}
+   	\frac{1}{\mu_r -1} = a^* + b^* \cdot H
+   \end{equation}
+   
+   Permeabilität
+   \begin{equation}
+   	\mu_r = f(H) =1+ \frac{1}{a^*+b^*\cdot H}
+   \end{equation}
+   
+   induzierte Spannung
+   \begin{equation}
+   	|u_{ind}|= w \cdot \frac{d\phi}{dt} = \omega \cdot w \cdot \phi
+   \end{equation}
+   
+   magnetische Spannung
+   \begin{equation}
+   	 V_m = H_\delta \cdot \delta
+   \end{equation}
+   
+   Strombelag
+   \begin{equation}
+   	A = 
+   \end{equation}
+   
+   Grundwelle
+   \begin{equation}
+   	B_1(\theta) = \mu_0 \frac{2\omega}{\pi\delta}\cdot cos(\theta)\cdot i(t)
+   \end{equation}
+   
+   Zonungsfaktor
+   \begin{equation}
+   	\xi_{Z,1} = \frac{|\vec{U}_{res}|}{|\vec{U}_1|+|\vec{U}_2|+|\vec{U}_3|}
+   \end{equation}
+   
+   Sehnungsfaktor
+   \begin{equation}
+   	\xi_{S,1} = sin(\frac{\tau_\omega}{\tau_p})
+   \end{equation}
+   
+   Wicklungsfaktor
+   \begin{equation}
+   	\xi_1 = \xi_{Z,1} \cdot \xi_{S,1}
+   \end{equation}
+   
+   Wirksame Windungszahl
+   \begin{equation}
+   	w_1 = N \cdot \xi_1
+   \end{equation}
+   
+   Grundstrombelag
+   \begin{equation}
+   	a_p(x,t) = A_p \cdot cos(px-\omega_1 t -\varphi_1)
+   \end{equation}
+   
+   Amplitude der Grundwelle
+   \begin{equation}
+   	A_p = \frac{3}{\pi}\cdot A = \frac{3\cdot N_1 \xi_p \cdot }{\pi \cdot R}
+   \end{equation}
+   
+   Magnetische Spanung über dem Luftspalt
+   \begin{equation}
+   	V(x,t) = \frac{1}{p} \cdot A_p \cdot R \cdot sin(px-\omega_1 t - \varphi_1)
+   \end{equation}
+   
+   Amplitude B-Feld Grundwelle
+   \begin{equation}
+   	B_p = \frac{\mu_0}{\delta^{''}} \frac{3\cdot N_1 \xi_p}{p\cdot \pi} \cdot \sqrt{2} \cdot I_\mu
+   \end{equation}
 \end{multicols*}
 
 \begin{multicols*}{2}
-    \includepdf[width = \columnwidth]{Abbildungen/SOK_TEG_FS.pdf}
     \subheading{Synchronmaschine}
     \begin{tabularx}{\columnwidth}{p{2cm} X}
         \textbf{Formelzeichen}		& \textbf{Beschreibung} \\